Calculadora de Integral Imprópria

Uma integral imprópria é uma integral definida em que ocorre uma das situações:

1. O intervalo é infinito: ex.: $\int_1^\infty f(x)\,dx$ ou $\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx$
2. O integrando tem uma assíntota vertical dentro ou em um extremo do intervalo: ex.: $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$

Em ambos os casos, a integral de Riemann padrão é indefinida, mas às vezes podemos atribuir um valor finito usando limites.

Se o limite existe e é finito, a integral imprópria converge. Se o limite é infinito ou não existe, a integral diverge.

Integrais impróprias são centrais na probabilidade (constantes de normalização), nas transformadas de Laplace e Fourier e nos testes de convergência de séries.

Tipo 1: Intervalo Infinito

Substitua o infinito por um limite:

$\int_a^\infty f(x)\,dx = \lim_{t \to \infty} \int_a^t f(x)\,dx$

$\int_{-\infty}^b f(x)\,dx = \lim_{t \to -\infty} \int_t^b f(x)\,dx$

Para ambos os limites infinitos, divida em qualquer ponto conveniente $c$:

$\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx = \int_{-\infty}^c f(x)\,dx + \int_c^\infty f(x)\,dx$

Ambas as partes devem convergir independentemente — caso contrário, toda a integral diverge.

Tipo 2: Integrando Ilimitado

Se $f$ é ilimitada em $x = c$ dentro de $[a, b]$, divida e tome limites:

$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{t \to c^-}\int_a^t f(x)\,dx + \lim_{s \to c^+}\int_s^b f(x)\,dx$

Se a singularidade está em $x = a$:

$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{t \to a^+} \int_t^b f(x)\,dx$

O Teste-$p$

$\int_1^\infty \frac{1}{x^p}\,dx \quad \text{converge se } p > 1, \text{ diverge se } p \leq 1$

$\int_0^1 \frac{1}{x^p}\,dx \quad \text{converge se } p < 1, \text{ diverge se } p \geq 1$

O expoente crítico é $p = 1$. Note as regras de convergência opostas nos dois casos.

Teste de Comparação

Se $0 \leq f(x) \leq g(x)$ no intervalo:

• $\int g$ converge $\Rightarrow \int f$ converge
• $\int f$ diverge $\Rightarrow \int g$ diverge

Útil quando a própria integral é difícil, mas o limitante é fácil.

• Tratar $\infty$ como um número: você não pode 'substituir' $\infty$. Você precisa usar um limite.
• Não detectar singularidades internas: $\int_{-1}^1 \frac{1}{x}\,dx$ tem uma singularidade em $0$ dentro do intervalo. Avaliar ingenuamente dá $0$ (errado) — a integral na verdade diverge.
• Somar integrais impróprias por partes que se 'cancelam': $\int_{-\infty}^\infty x\,dx$ — ambas as metades divergem, então a integral diverge. O 'valor principal' é uma noção diferente (mais fraca).
• Direção errada do teste-$p$: em $\infty$, $1/x^p$ converge para $p > 1$. Em $0$, converge para $p < 1$. São opostos — memorize ambos.
• Esquecer de verificar a convergência antes de integrar: uma integral imprópria divergente não tem valor. Sempre verifique a convergência primeiro.