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Calculadora de Integral Imprópria

Calcule integrais impróprias com limites infinitos ou integrandos ilimitados usando soluções passo a passo de IA

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∑Math Input
integral from 0 to infinity of e^(-x) dx
integral from 1 to infinity of 1/x^2 dx
integral from 0 to 1 of 1/sqrt(x) dx
integral from -infinity to infinity of 1/(1+x^2) dx

O que é uma Integral Imprópria?

Uma integral imprópria é uma integral definida em que ocorre uma das situações:

  1. O intervalo é infinito: ex.: ∫1∞f(x) dx\int_1^\infty f(x)\,dx ou ∫−∞∞f(x) dx\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx
  2. O integrando tem uma assíntota vertical dentro ou em um extremo do intervalo: ex.: ∫011x dx\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx

Em ambos os casos, a integral de Riemann padrão é indefinida, mas às vezes podemos atribuir um valor finito usando limites.

Se o limite existe e é finito, a integral imprópria converge. Se o limite é infinito ou não existe, a integral diverge.

Integrais impróprias são centrais na probabilidade (constantes de normalização), nas transformadas de Laplace e Fourier e nos testes de convergência de séries.

Como Calcular Integrais Impróprias

Tipo 1: Intervalo Infinito

Substitua o infinito por um limite:

∫a∞f(x) dx=lim⁡t→∞∫atf(x) dx\int_a^\infty f(x)\,dx = \lim_{t \to \infty} \int_a^t f(x)\,dx

∫−∞bf(x) dx=lim⁡t→−∞∫tbf(x) dx\int_{-\infty}^b f(x)\,dx = \lim_{t \to -\infty} \int_t^b f(x)\,dx

Para ambos os limites infinitos, divida em qualquer ponto conveniente cc:

∫−∞∞f(x) dx=∫−∞cf(x) dx+∫c∞f(x) dx\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx = \int_{-\infty}^c f(x)\,dx + \int_c^\infty f(x)\,dx

Ambas as partes devem convergir independentemente — caso contrário, toda a integral diverge.

Tipo 2: Integrando Ilimitado

Se ff é ilimitada em x=cx = c dentro de [a,b][a, b], divida e tome limites:

∫abf(x) dx=lim⁡t→c−∫atf(x) dx+lim⁡s→c+∫sbf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{t \to c^-}\int_a^t f(x)\,dx + \lim_{s \to c^+}\int_s^b f(x)\,dx

Se a singularidade está em x=ax = a:

∫abf(x) dx=lim⁡t→a+∫tbf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{t \to a^+} \int_t^b f(x)\,dx

O Teste-pp

∫1∞1xp dxconverge se p>1, diverge se p≤1\int_1^\infty \frac{1}{x^p}\,dx \quad \text{converge se } p > 1, \text{ diverge se } p \leq 1

∫011xp dxconverge se p<1, diverge se p≥1\int_0^1 \frac{1}{x^p}\,dx \quad \text{converge se } p < 1, \text{ diverge se } p \geq 1

O expoente crítico é p=1p = 1. Note as regras de convergência opostas nos dois casos.

Teste de Comparação

Se 0≤f(x)≤g(x)0 \leq f(x) \leq g(x) no intervalo:

  • ∫g\int g converge ⇒∫f\Rightarrow \int f converge
  • ∫f\int f diverge ⇒∫g\Rightarrow \int g diverge

Útil quando a própria integral é difícil, mas o limitante é fácil.

Erros Comuns a Evitar

  • Tratar ∞\infty como um número: você não pode 'substituir' ∞\infty. Você precisa usar um limite.
  • Não detectar singularidades internas: ∫−111x dx\int_{-1}^1 \frac{1}{x}\,dx tem uma singularidade em 00 dentro do intervalo. Avaliar ingenuamente dá 00 (errado) — a integral na verdade diverge.
  • Somar integrais impróprias por partes que se 'cancelam': ∫−∞∞x dx\int_{-\infty}^\infty x\,dx — ambas as metades divergem, então a integral diverge. O 'valor principal' é uma noção diferente (mais fraca).
  • Direção errada do teste-pp: em ∞\infty, 1/xp1/x^p converge para p>1p > 1. Em 00, converge para p<1p < 1. São opostos — memorize ambos.
  • Esquecer de verificar a convergência antes de integrar: uma integral imprópria divergente não tem valor. Sempre verifique a convergência primeiro.

Examples

Step 1: Substitua o limite por um limite: lim⁡t→∞∫0te−x dx\lim_{t \to \infty} \int_0^t e^{-x}\,dx
Step 2: Calcule a antiderivada: ∫e−x dx=−e−x+C\int e^{-x}\,dx = -e^{-x} + C
Step 3: Aplique os limites: lim⁡t→∞[−e−x]0t=lim⁡t→∞(−e−t+1)\lim_{t \to \infty} \left[-e^{-x}\right]_0^t = \lim_{t \to \infty}(-e^{-t} + 1)
Step 4: Quando t→∞t \to \infty, e−t→0e^{-t} \to 0, então o limite é igual a 11
Answer: 11 (converges)

Step 1: Aplique o teste-pp com p=1p = 1: ∫1∞1/xp dx\int_1^\infty 1/x^p\,dx converge se e somente se p>1p > 1
Step 2: Aqui p=1p = 1, então a integral diverge
Step 3: Verifique por limite: lim⁡t→∞[ln⁡x]1t=lim⁡t→∞ln⁡t=∞\lim_{t \to \infty} [\ln x]_1^t = \lim_{t \to \infty} \ln t = \infty
Answer: Diverges

Step 1: Singularidade em x=0x = 0. Use o teste-pp em 00: 1/xp1/x^p converge se e somente se p<1p < 1
Step 2: Aqui p=1/2<1p = 1/2 < 1, então converge
Step 3: Calcule: lim⁡t→0+∫t1x−1/2 dx=lim⁡t→0+[2x]t1\lim_{t \to 0^+} \int_t^1 x^{-1/2}\,dx = \lim_{t \to 0^+} [2\sqrt{x}]_t^1
Step 4: =lim⁡t→0+(2−2t)=2= \lim_{t \to 0^+} (2 - 2\sqrt{t}) = 2
Answer: 22 (converges)

Frequently Asked Questions

Uma integral imprópria converge se o limite que a define é finito. Caso contrário, ela diverge, o que significa que a área sob a curva é infinita ou indefinida.

O teste-p se aplica a integrais da forma ∫1/x^p sobre [1, ∞) ou (0, 1]. É mais útil como uma comparação: se o seu integrando se comporta assintoticamente como 1/x^p, você pode determinar a convergência rapidamente.

Uma integral imprópria converge absolutamente se ∫|f| converge. Ela converge condicionalmente se ∫f converge mas ∫|f| diverge. A convergência absoluta é estritamente mais forte.

Sim — a área pode ser infinita. ∫_1^∞ 1/x dx é o exemplo canônico: a curva y = 1/x é sempre positiva sobre [1, ∞), mas a área embaixo é infinita (diverge).

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