Calculadora de Integral Dupla

Uma integral dupla calcula a acumulação de uma função $f(x, y)$ sobre uma região bidimensional $D$:

$\iint_D f(x,y)\,dA$

onde $dA$ é o elemento infinitesimal de área. Em coordenadas cartesianas $dA = dx\,dy$; em coordenadas polares $dA = r\,dr\,d\theta$.

Significados físicos comuns:

• $f(x,y) = 1$ fornece a área de $D$.
• $f(x,y) = h(x,y)$ (função altura) fornece o volume sob a superfície $z = h(x,y)$ acima de $D$.
• $f = \rho(x,y)$ (densidade superficial) fornece a massa de uma placa fina.

As habilidades chave são: escolher as coordenadas, definir os limites e calcular como integrais simples iteradas usando o teorema de Fubini.

Teorema de Fubini

Para uma $f$ contínua sobre um retângulo $D = [a, b] \times [c, d]$:

$\iint_D f\,dA = \int_a^b \int_c^d f(x,y)\,dy\,dx = \int_c^d \int_a^b f(x,y)\,dx\,dy$

Qualquer ordem funciona, então escolha aquela que for mais fácil de integrar.

Regiões do Tipo I e Tipo II

Tipo I ($y$ limitado por curvas de $x$):

$D = \{(x,y) : a \leq x \leq b,\ g_1(x) \leq y \leq g_2(x)\}$

$\iint_D f\,dA = \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y)\,dy\,dx$

Tipo II ($x$ limitado por curvas de $y$):

$D = \{(x,y) : c \leq y \leq d,\ h_1(y) \leq x \leq h_2(y)\}$

$\iint_D f\,dA = \int_c^d \int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y)\,dx\,dy$

Coordenadas Polares

Para regiões com simetria circular, use $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $dA = r\,dr\,d\theta$:

$\iint_D f(x,y)\,dA = \iint_D f(r\cos\theta, r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta$

O fator $r$ do Jacobiano é essencial — esquecê-lo é o erro mais comum.

Quando Trocar a Ordem de Integração

Se uma integral interna se tornar intratável (ex.: $\int e^{x^2}\,dx$ não tem antiderivada elementar), trocar a ordem de integração muitas vezes torna o problema solúvel. Esboce a região primeiro para encontrar limites equivalentes na outra ordem.

• Ordem errada dos limites: os limites internos podem depender das variáveis externas, mas os limites externos devem ser constantes. Invertidos = resposta errada.
• Esquecer o Jacobiano polar: $dA = r\,dr\,d\theta$, não $dr\,d\theta$.
• Não esboçar a região: para $D$ não retangular, um esboço torna óbvio Tipo I versus Tipo II.
• Tentar integrar funções internas impossíveis: se você cair em $\int e^{x^2}\,dx$ ou integrando não elementar similar, troque a ordem antes de desistir.
• Erros de sinal com integrandos negativos: se $f$ muda de sinal sobre $D$, a integral dupla pode ser zero — isso está correto, não é um erro a 'corrigir'.