Calculadora de Divisão Sintética

A divisão sintética é um atalho para dividir um polinômio $p(x)$ por um fator linear $x - k$. É mais rápida que a divisão longa e produz o mesmo quociente e resto, apenas com menos escrita.

Dado $p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0$ dividido por $x - k$, a divisão sintética produz:

$p(x) = (x - k) q(x) + r$

onde $q(x)$ é o quociente (grau $n - 1$) e $r$ é o resto constante.

Usos principais:

1. Divisão polinomial rápida quando o divisor é um linear $x - k$.
2. Avaliar $p(k)$ — pelo Teorema do Resto, $p(k) = r$, então o resto é exatamente o valor da função.
3. Fatorar polinômios — se $r = 0$, então $(x - k)$ é um fator e $q(x)$ informa o cofator.
4. Encontrar raízes racionais combinada com o Teorema das Raízes Racionais.

Preparação

Para dividir $p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0$ por $x - k$:

1. Escreva o zero do divisor $k$ à esquerda.
2. Liste os coeficientes de $p(x)$ à direita, incluindo zeros para quaisquer termos ausentes.

Algoritmo

1. Baixe o primeiro coeficiente ($a_n$) sem alteração.
2. Multiplique por $k$ e escreva o resultado abaixo do próximo coeficiente ($a_{n-1}$).
3. Some a coluna. Escreva a soma na linha de baixo.
4. Repita: multiplique essa soma por $k$, escreva abaixo do próximo coeficiente, some.
5. Continue até terminar todos os coeficientes.

Lendo o Resultado

A linha de baixo contém:

• As primeiras $n$ entradas: coeficientes do quociente $q(x)$ (em ordem decrescente de grau).
• A última entrada: o resto $r$.

Exemplo: $(x^3 - 4x + 5) \div (x - 2)$

Coeficientes de $x^3 + 0x^2 - 4x + 5$: $[1, 0, -4, 5]$. Zero do divisor: $k = 2$.

 2 |  1   0  -4   5
   |      2   4   0
   |________________
      1   2   0   5

Quociente: $x^2 + 2x + 0 = x^2 + 2x$. Resto: $5$.

Então $x^3 - 4x + 5 = (x - 2)(x^2 + 2x) + 5$.

Conexão com o Teorema do Resto

O resto $r$ em $p(x) = (x - k)q(x) + r$ é igual a $p(k)$. Fazendo $x = k$:

$p(k) = (k - k) q(k) + r = r$

Então a divisão sintética é uma maneira rápida de avaliar $p(k)$ sem substituir.

Teorema do Fator

Um corolário: $(x - k)$ é um fator de $p(x)$ se e somente se $p(k) = 0$ se e somente se o resto da divisão sintética é $0$.

• Faltar marcadores de posição zero: para $p(x) = x^3 - 4x + 5$, você precisa incluir um $0$ para o termo $x^2$ ausente. Caso contrário, as colunas se desalinham.
• Erro de sinal em $k$: para dividir por $x - 2$, use $k = 2$ (o zero do divisor). Para dividir por $x + 3$, use $k = -3$.
• Não usar diretamente para divisores $ax - k$: a divisão sintética como ensinada funciona para $x - k$ (coeficiente líder 1). Para $ax - k$, coloque $a$ em evidência primeiro ou use a divisão longa de polinômios.
• Esquecer de baixar o primeiro coeficiente: o primeiro passo é sempre 'baixar $a_n$' — ainda não multiplique nada.
• Ler errado o quociente: as primeiras $n$ entradas da linha de baixo são coeficientes, e o grau diminui em 1. Um polinômio de grau 4 dividido por $x - k$ dá um quociente de grau 3.