Calculadora de Completar o Quadrado

Completar o quadrado é a técnica algébrica de reescrever uma quadrática $ax^2 + bx + c$ como:

$a(x - h)^2 + k$

onde $(h, k)$ é o vértice da parábola.

Por que isso importa:

• Revela o vértice (ponto de mínimo/máximo) de uma parábola num relance.
• Permite resolver qualquer equação quadrática sem a fórmula de Bhaskara.
• É a técnica subjacente que deduz a fórmula de Bhaskara.
• Usada para calcular $\int \frac{1}{x^2 + bx + c}\,dx$ no cálculo (reduz a arctan).
• Essencial para entender integrais gaussianas e muitos tópicos de física.

A identidade central que faz tudo funcionar:

$x^2 + bx + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2$

Caso 1: Coeficiente Líder Igual a 1

Para $x^2 + bx + c$:

1. Pegue metade de $b$ e eleve ao quadrado: $(b/2)^2$.
2. Some e subtraia essa quantidade: $x^2 + bx + (b/2)^2 - (b/2)^2 + c$.
3. Agrupe o quadrado perfeito: $(x + b/2)^2 + c - (b/2)^2$.

Exemplo: $x^2 + 6x + 5$

• Metade de 6 é 3. Ao quadrado: 9.
• $x^2 + 6x + 9 - 9 + 5 = (x + 3)^2 - 4$

Forma canônica: $(x + 3)^2 - 4$, vértice em $(-3, -4)$.

Caso 2: Coeficiente Líder Diferente de 1

Para $ax^2 + bx + c$, $a \neq 1$:

1. Coloque $a$ em evidência nos dois primeiros termos: $a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c$.
2. Complete o quadrado dentro dos parênteses: metade de $b/a$ é $b/(2a)$, ao quadrado é $b^2/(4a^2)$.
3. Some e subtraia dentro: $a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2}\right) - a \cdot \frac{b^2}{4a^2} + c$.
4. Simplifique: $a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a}$.

Note que ao 'desfazer' o termo somado, você multiplica por $a$, já que o interior está multiplicado por $a$.

Resolvendo uma Equação Quadrática

Para $ax^2 + bx + c = 0$:

1. Complete o quadrado para obter $a(x - h)^2 + k = 0$.
2. Isole o termo ao quadrado: $(x - h)^2 = -k/a$.
3. Extraia raízes quadradas: $x - h = \pm\sqrt{-k/a}$.
4. Resolva: $x = h \pm \sqrt{-k/a}$.

Isto é essencialmente o que a fórmula de Bhaskara faz numa única expressão compacta.

• Esquecer de equilibrar: ao somar $(b/2)^2$, você precisa subtraí-lo também. Caso contrário, alterou a expressão.
• Tratamento incorreto do coeficiente: se $a \neq 1$, você precisa colocar $a$ em evidência nos dois primeiros termos antes de completar o quadrado, e depois multiplicar sua correção por $a$ ao distribuir de volta.
• Erros de sinal com $\pm$: após extrair raízes quadradas, ambos os ramos devem ser mantidos. Esquecer o $\pm$ perde uma solução.
• Metade de $b$ versus $b/2a$: quando o coeficiente líder é 1, pegue metade de $b$. Quando não é, coloque em evidência primeiro — então pegue metade do novo coeficiente.
• Esquecer de simplificar a constante: após completar o quadrado, combine as constantes restantes em um único $k$.