Série de Taylor

A série de Taylor de uma função $f$ em torno de um ponto $a$ é

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots$

Quando $a = 0$, a série é chamada de série de Maclaurin.

Expansões famosas:

• $e^x = \sum \frac{x^n}{n!}$
• $\sin x = \sum \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
• $\cos x = \sum \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$
• $\frac{1}{1-x} = \sum x^n$ (para $|x| < 1$).

Truncar a série no grau $n$ produz uma aproximação polinomial. É assim que as calculadoras computam internamente as funções trigonométricas e exponenciais, e como a física aproxima o comportamento de "ângulo pequeno" ou "baixa velocidade". A série de Taylor existe sempre que a função é infinitamente diferenciável e o termo de resto tende a zero.