Série (soma infinita)

Uma série é a soma dos termos de uma sequência. A série finita $\sum_{i=1}^n a_i = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$ é apenas uma adição comum. A série infinita $\sum_{i=1}^\infty a_i$ é o limite das somas parciais $S_n = \sum_{i=1}^n a_i$ quando $n \to \infty$.

Se $\lim_{n\to\infty} S_n$ existe e é finito, a série converge; caso contrário, diverge. Exemplos famosos:

• A série geométrica $\sum r^n$ converge para $\frac{1}{1-r}$ quando $|r| < 1$.
• A série harmônica $\sum \frac{1}{n}$ diverge (lentamente).
• Problema de Basileia: $\sum \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$.

A convergência é decidida por testes: teste da razão, teste da raiz, teste da integral, teste da comparação, teste das séries alternadas. As séries de Taylor aproximam funções por polinômios de grau arbitrariamente alto — o fundamento da análise numérica e das aproximações em física.