Derivada

A derivada de uma função $f(x)$ em um ponto $x_0$ é definida como o limite

$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}$

desde que o limite exista. Geometricamente, é a inclinação da reta tangente em $(x_0, f(x_0))$; fisicamente, é a taxa de variação instantânea da quantidade representada por $f$.

As derivadas são lineares (a derivada de uma soma é a soma das derivadas), e um pequeno conjunto de regras — potência, produto, quociente, cadeia — permite derivar mecanicamente a maioria das funções elementares sem voltar à definição por limite a cada vez.

As derivadas são fundamentais para a otimização (encontrar máximos e mínimos), para a física (velocidade é a derivada da posição, aceleração da velocidade), para o aprendizado de máquina (descida de gradiente) e para a economia (custo / receita marginal).