Discrete vs Continuous

Discreto versus contínuo é uma das distinções mais decisivas da matemática. Identificar errado qual deles você tem leva a ferramentas erradas, distribuições erradas e conclusões erradas.

Discreto

Uma quantidade discreta só pode assumir valores separados, geralmente inteiros ou um conjunto finito.

Exemplos: número de alunos em uma turma, resultados do lançamento de um dado, defeitos por unidade, cliques em uma página web.

Ferramentas matemáticas: somatório $\sum$, funções de massa de probabilidade $P(X = k)$, combinatória, equações de diferenças, teoria dos grafos.

Contínuo

Uma quantidade contínua pode assumir qualquer valor dentro de um intervalo, com precisão arbitrária.

Exemplos: altura, peso, tempo, temperatura, distância.

Ferramentas matemáticas: integração $\int$, funções de densidade de probabilidade $f(x)$ (onde $P(X = \text{valor exato}) = 0$), equações diferenciais, cálculo.

A decisão: qual estrutura?

Aspecto	Discreto	Contínuo
Valores	Separados, contáveis	Intervalo, não contáveis
Probabilidade de valor exato	$P(X = k) > 0$	$P(X = a) = 0$ — é preciso usar intervalos
Ferramenta de "soma"	$\sum$	$\int$
Tipo de equação	Equação de diferenças	Equação diferencial
Distribuições comuns	Binomial, Poisson, geométrica	Normal, exponencial, uniforme

Erros comuns

• Tratar contagens como contínuas. "A família média tem 2,3 filhos" — tudo bem como resumo, mas a probabilidade de "exatamente 2,3 filhos" não faz sentido.
• Tratar medições como discretas. Dizer que a altura "é 170 cm" arredonda uma quantidade contínua; testes estatísticos que assumem discrição perdem informação.
• Misturar em probabilidade: não some uma FDP contínua; integre. Não integre uma FMP discreta; some.

Pontes entre os dois

O teorema central do limite permite que somas discretas de muitas variáveis pequenas se aproximem de uma normal contínua. A correção de continuidade traduz entre probabilidades binomiais (discretas) e normais (contínuas). As somas de Riemann são a ponte discreta para as integrais.