Derivada vs diferencial

Derivada e diferencial são objetos matemáticos intimamente relacionados, mas distintos, e confundi-los é a fonte de muitos erros sutis em cálculo.

Derivada

A derivada $f'(x)$ (ou $\frac{dy}{dx}$) é uma função que dá a taxa de variação de $f$ em cada $x$. Para $f(x) = x^2$, $f'(x) = 2x$.

Numericamente: em $x = 3$, $f'(3) = 6$ — a inclinação da reta tangente nesse ponto.

Diferencial

O diferencial $dy$ é uma variação infinitesimal em $y$ correspondente a uma variação infinitesimal $dx$ em $x$:

$dy = f'(x) \, dx$

Para $y = x^2$: $dy = 2x \, dx$.

Os diferenciais permitem escrever as derivadas como razões de infinitesimais — útil na substituição (substituição $u$ em integrais: $du = u'(x) dx$) e na separação de variáveis de equações diferenciais.

Quando a diferença importa

Em integrais: $\int 2x \, dx$ usa o diferencial $dx$, não a derivada.

Na diferenciação implícita: a partir de $x^2 + y^2 = 25$, tome os diferenciais: $2x \, dx + 2y \, dy = 0$, então resolva para $\frac{dy}{dx}$.

Na física: $dW = F \, dx$ (trabalho como diferencial), não "trabalho é igual à derivada da força".

Aproximação linear

$dy$ também serve como aproximação linear de $\Delta y$ (a variação real) para $dx$ pequeno:

$\Delta y \approx dy = f'(x) \, dx$

Essa é a base da propagação de erros, do método de Newton e do alicerce de aproximação linear de todo o cálculo.

Veredito

Use a derivada $f'(x)$ quando quiser uma taxa / função. Use o diferencial $dy = f'(x) dx$ quando quiser uma variação infinitesimal, especialmente em integrais, substituição ou EDs.