Kit de sobrevivência das identidades trigonométricas

Existem dezenas de identidades trigonométricas, mas, na prática, você só precisa decorar cerca de uma dúzia — o resto pode ser deduzido em segundos a partir delas. Esta página é o kit de sobrevivência: cada identidade que vale o seu lugar, com exemplos resolvidos curtos para cada uma.

O trio pitagórico

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$
$1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$
$1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$

A primeira é a identidade mais usada de toda a matemática. As outras duas são obtidas dividindo tudo por $\cos^2$ ou $\sin^2$.

Fórmulas de soma e diferença

$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha \cos\beta \pm \cos\alpha \sin\beta$
$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha \cos\beta \mp \sin\alpha \sin\beta$

Mnemônico para o cosseno: "cos cos menos sen sen" com sinal oposto — o seno é "sen cos mais cos sen" com sinal igual.

Fórmulas do ângulo duplo

Substitua $\alpha = \beta = \theta$ nas fórmulas de soma:

$\sin(2\theta) = 2\sin\theta \cos\theta$
$\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 1 - 2\sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1$
$\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$

Existem três formas da versão do cosseno por causa da identidade pitagórica. Escolha a que combinar com o resto da sua expressão.

Fórmulas do ângulo metade

Resolver o ângulo duplo do cosseno para $\sin^2$ e $\cos^2$ dá:

$\sin^2\theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}, \quad \cos^2\theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$

Estas são as identidades de redução de potência — são elas que tornam $\int \sin^2 x \, dx$ elementar.

Exemplo resolvido: simplificação

Simplifique $\frac{\sin(2x)}{1 + \cos(2x)}$.

1. Numerador: $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$.
2. Denominador: $1 + \cos(2x) = 1 + (2\cos^2 x - 1) = 2\cos^2 x$.
3. Quociente: $\frac{2\sin x \cos x}{2\cos^2 x} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$.

Toda a expressão cabeluda se reduz a $\tan x$.

Erros comuns

• Erros de sinal nas fórmulas de soma — escreva a fórmula por extenso, não confie na memória no meio do problema.
• $\sin^2\theta$ significa $(\sin\theta)^2$, não $\sin(\sin\theta)$.
• Esquecer que $2\theta$ é o ângulo, não 2 vezes o valor — $\sin(2 \cdot 30°) = \sin 60°$, não $2\sin 30°$.

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O Solucionador de Trigonometria recebe qualquer expressão e aplica todas essas identidades para simplificá-la ou resolvê-la.

Referências relacionadas:

• Calculadora de Simplificação — as mesmas ideias de simplificação, com sabor polinomial
• Calculadora de Integrais — a redução de potência é crítica para integrais trigonométricas
• Calculadora de Séries — as expansões de Taylor de sen e cos usam estas diretamente