Taxas relacionadas: uma estratégia repetível de 6 passos

Os problemas de taxas relacionadas soam abstratos — "uma escada desliza por uma parede, com que rapidez o topo está caindo?" — mas todos seguem o mesmo padrão de seis passos. Domine a receita e esses problemas deixam de ser aterrorizantes para se tornarem mecânicos.

A receita de 6 passos

1. Leia o problema duas vezes e identifique cada grandeza. Faça um esboço.
2. Rotule com letras as grandezas que mudam; com números, as constantes.
3. Encontre uma equação relacionando as grandezas que mudam (geometria, Pitágoras, triângulos semelhantes, área, volume…).
4. Derive ambos os lados em relação ao tempo $t$ implicitamente. Cada grandeza que muda contribui com um termo $\frac{d \cdot}{dt}$.
5. Substitua os valores do instantâneo somente após derivar. Substituir cedo demais elimina a informação sobre a taxa.
6. Resolva para a taxa desconhecida e confira as unidades.

Exemplo 1: a escada que desliza

Uma escada de 13 pés está apoiada em uma parede. Sua base desliza para fora a 2 pés/s. Com que rapidez o topo está deslizando para baixo quando a base está a 5 pés da parede?

1. Variáveis: $x$ = distância da base, $y$ = altura do topo. Ambas mudam com $t$.
2. Restrição: $x^2 + y^2 = 169$ (Pitágoras — o comprimento da escada é constante).
3. Derive: $2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$.
4. Instantâneo: $x = 5$, então $y = \sqrt{169 - 25} = 12$. Dado $\frac{dx}{dt} = 2$.
5. Resolva: $2(5)(2) + 2(12)\frac{dy}{dt} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dt} = -\frac{20}{24} = -\frac{5}{6}$ pés/s.

O topo cai a $5/6$ pés/s. O sinal negativo significa que a altura está diminuindo — a verificação de sanidade passa.

Exemplo 2: o cone se enchendo de água

A água é despejada em um cone (vértice para baixo) a $3 \text{ pés}^3/\text{min}$. O cone tem 10 pés de altura e 4 pés de raio no topo. Com que rapidez o nível da água sobe quando a profundidade é de 6 pés?

1. Variáveis: $V$ = volume de água, $h$ = profundidade da água, $r$ = raio da superfície da água.
2. Volume do cone: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$. Use triângulos semelhantes: $r/h = 4/10 \Rightarrow r = 0.4h$.
3. Substitua para uma única variável: $V = \frac{1}{3}\pi (0.4h)^2 h = \frac{0.16\pi}{3} h^3$.
4. Derive: $\frac{dV}{dt} = 0.16\pi h^2 \frac{dh}{dt}$.
5. Substitua $h = 6$, $\frac{dV}{dt} = 3$: $3 = 0.16\pi (36) \frac{dh}{dt}$.
6. Resolva: $\frac{dh}{dt} = \frac{3}{5.76\pi} \approx 0,166$ pés/min.

Erros comuns

• Substituir números cedo demais — as derivadas "congelam" a relação; você perde a informação sobre como as coisas mudam.
• Esquecer a regra da cadeia ao derivar algo como $r^2$ — torna-se $2r \frac{dr}{dt}$, não $2r$.
• Não eliminar variáveis extras com triângulos semelhantes antes de derivar.

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Referências relacionadas:

• Calculadora de Limites — as derivadas são limites por baixo
• Calculadora de Integrais — a companheira da antiderivada
• Solucionador de Triângulos — para a montagem geométrica de muitos problemas