테일러 급수

점 $a$ 주위에서 함수 $f$의 테일러 급수는

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots$

이다. $a = 0$일 때 이 급수를 매클로린 급수라고 부른다.

유명한 전개:

• $e^x = \sum \frac{x^n}{n!}$
• $\sin x = \sum \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
• $\cos x = \sum \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$
• $\frac{1}{1-x} = \sum x^n$ ($|x| < 1$일 때).

급수를 차수 $n$에서 잘라내면 다항식 근사가 얻어진다. 이것이 계산기가 내부적으로 삼각함수와 지수함수를 계산하는 방식이며, 물리학이 "작은 각" 또는 "저속" 거동을 근사하는 방법이다. 테일러 급수는 함수가 무한히 미분 가능하고 나머지 항이 0으로 수렴하는 곳이라면 어디서든 존재한다.