급수(무한합)

급수는 수열의 항들의 합이다. 유한급수 $\sum_{i=1}^n a_i = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$ 는 단지 일반적인 덧셈이다. 무한급수 $\sum_{i=1}^\infty a_i$ 는 $n \to \infty$ 일 때 부분합 $S_n = \sum_{i=1}^n a_i$ 의 극한이다.

$\lim_{n\to\infty} S_n$ 이 존재하고 유한하면 급수는 수렴하고, 그렇지 않으면 발산한다. 유명한 예:

• 등비급수 $\sum r^n$ 은 $|r| < 1$ 일 때 $\frac{1}{1-r}$ 로 수렴한다.
• 조화급수 $\sum \frac{1}{n}$ 은 (천천히) 발산한다.
• 바젤 문제: $\sum \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$.

수렴은 여러 판정법으로 결정된다: 비 판정법, 근 판정법, 적분 판정법, 비교 판정법, 교대급수 판정법. 테일러 급수는 함수를 임의로 높은 차수의 다항식으로 근사한다 — 수치 해석과 물리학 근사의 토대이다.