지수 법칙 완벽 정리: 모든 법칙을 예제와 함께

지수는 반복되는 곱셈을 하나의 우아한 표기로 압축합니다. 아래의 일곱 가지 법칙을 체득하고 나면 $\frac{x^5 y^{-2}}{x^{-3} y^4}$ 같은 식을 간단히 하는 일은 30초짜리 연습이 됩니다. 이 페이지는 숙제할 때 열어 두는 치트 시트입니다.

왜 지수가 중요한가

지수 법칙은 임의로 만든 것이 아닙니다 — 모두 정의 $a^n = \underbrace{a \cdot a \cdots a}_{n \text{개}}$ 에서 따라 나옵니다. 각 법칙이 왜 성립하는지 보이면, 외우는 대신 필요할 때 유도하기 시작하게 됩니다.

일곱 가지 핵심 법칙

#	법칙	예
1	$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$	$x^3 \cdot x^4 = x^7$
2	$a^m / a^n = a^{m-n}$	$x^7 / x^2 = x^5$
3	$(a^m)^n = a^{mn}$	$(x^2)^3 = x^6$
4	$(ab)^n = a^n b^n$	$(2x)^3 = 8x^3$
5	$(a/b)^n = a^n / b^n$	$(x/y)^4 = x^4/y^4$
6	$a^{-n} = 1/a^n$	$x^{-3} = 1/x^3$
7	$a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$	$8^{2/3} = (\sqrt[3]{8})^2 = 4$

여기에 정의에 따른 두 가지 경우를 더합니다: $a \ne 0$ 인 모든 $a$ 에 대해 $a^0 = 1$, 그리고 $a^1 = a$.

예제: 법칙 결합하기

$\frac{(2x^3)^2 \cdot x^{-4}}{4x^{-1}}$ 를 간단히 합니다.

1. 괄호에 법칙 4를 적용합니다: $(2x^3)^2 = 4x^6$.
2. 대입합니다: $\frac{4x^6 \cdot x^{-4}}{4x^{-1}}$.
3. 4를 약분합니다: $\frac{x^6 \cdot x^{-4}}{x^{-1}}$.
4. 분자를 법칙 1로 합칩니다: $\frac{x^2}{x^{-1}}$.
5. 법칙 2를 적용합니다: $x^{2 - (-1)} = x^3$.

전체 간단화는 단지 장부 정리일 뿐입니다 — 법칙이 당신을 끌고 갑니다.

음의 지수와 분수 지수의 직관

음의 지수는 "음수"를 뜻하지 않습니다. 역수를 뜻합니다. 따라서 $5^{-2} = 1/25$ 이지, $-25$ 가 아닙니다.

분수 지수 $a^{p/q}$ 는 먼저 근, 그다음 거듭제곱(또는 먼저 거듭제곱, 그다음 근, 답은 같음)입니다. 분모가 근을 정하고, 분자가 거듭제곱을 정합니다: $32^{3/5} = (\sqrt[5]{32})^3 = 2^3 = 8$.

흔한 실수

• $(a + b)^n \ne a^n + b^n$ — 지수는 덧셈에 대해 분배되지 않습니다. $(2 + 3)^2 = 25$ 이지, $4 + 9$ 가 아닙니다.
• $a^{-n} \ne -a^n$ — 음의 지수는 역수이지 부호 반전이 아닙니다.
• $0^0$ 은 대수와 조합론에서는 관례적으로 $1$ 이지만, 일부 해석학 맥락에서는 정의되지 않습니다. 의심스러울 때는 주의하세요.

AI 지수 솔버로 해보기

어떤 식이든 지수 / 간단화 솔버에 붙여 넣으면, 위의 법칙을 정확히 사용한 단계별 간단화를 얻을 수 있습니다.

관련 링크:

• 간단화 계산기 — 일반적인 대수 정리용
• 로그 계산기 — 지수의 역연산
• 다항식 계산기 — 지수 법칙이 가장 자주 등장하는 곳