ある検定で統計量 chi-square(1) = 137.38 が得られた。p 値を求めよ。

Step-by-step solution

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   ここでの p 値が何かを確認する。 $p$ 値は上側の裾の確率 $P\!\left(\chi^2_1 \ge 137.38\right)$、すなわち帰無仮説が正しいときにこれと同じかそれ以上に極端な統計量が現れる確率である。カイ二乗検定は常に右片側である。ずれがどちらの向きでも統計量を大きくするからである。

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   自由度 1 のカイ二乗と標準正規分布を結ぶ関係を使う。 $Z\sim N(0,1)$ なら $Z^2 \sim \chi^2_1$ である。したがって $P\!\left(\chi^2_1 \ge c\right) = P\!\left(|Z| \ge \sqrt{c}\right) = 2\left(1-\Phi\!\left(\sqrt{c}\right)\right).$ となる。なじみの薄いカイ二乗の裾が、見慣れた正規分布の裾に変わる。

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   統計量を z 得点に変換する。 $\sqrt{137.38} = 11.720921\ldots$ なので、観測された効果は帰無値から標準誤差およそ $11.7$ 個分離れていることになる。

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   正規分布の両側の裾を計算する。 閉じた形では $2\left(1-\Phi(z)\right)=\operatorname{erfc}\!\left(z/\sqrt{2}\right)$ なので $p = \operatorname{erfc}\!\left(\sqrt{137.38/2}\right) = \operatorname{erfc}(8.287943) \approx 9.96\times 10^{-32}.$ となる。

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   漸近的な裾の評価で確認する。 大きい $z$ に対しては $1-\Phi(z)\approx \dfrac{e^{-z^2/2}}{z\sqrt{2\pi}}$ なので $p \approx \dfrac{2e^{-68.69}}{11.7209\sqrt{2\pi}} \approx 1.00\times10^{-31}$ が得られる——桁は同じであり、計算値は信頼できる。

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   結果を解釈する。 $p \approx 10^{-31}$ は $0.05$ や $0.001$ といった通常の基準よりも天文学的に小さいので、帰無仮説は決定的に棄却される。ソフトウェアはこれを p < 0.001 あるいは p = 0 と表示することが多いが、文字どおりの 0 ではなく $p<0.001$ と報告するのがよい。