正四角錐 T-ABCD の底辺は AB = a cm、高さは t cm である。P は AB の延長上で BP = AB、Q は CB の延長上で BQ = CB、K は TB 上で TK = 2KB となる点である。平面 PQK がこの四角錐を切る。2 つの立体それぞれの体積を求めよ。

Step-by-step solution

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   立体を座標に置く。 正方形の底面を平面 $z=0$ に置き、$A(0,0,0)$、$B(a,0,0)$、$C(a,a,0)$、$D(0,a,0)$ とする。正四角錐では頂点が底面の中心の真上にあるので $T\left(\tfrac a2,\tfrac a2,t\right)$ である。四角錐全体の体積は $V=\tfrac13 a^2t$ である。

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   与えられた 3 点の位置を求める。 $AB$ を $B$ の側へさらに長さ $a$ だけ延ばすと $P(2a,0,0)$ が得られる。$CB$ を $B$ の側へ $a$ だけ延ばすと $Q(a,-a,0)$ である。$TK=2KB$ より点 $K$ は $TB$ を $TK:KB=2:1$ に分けるので、$K=T+\tfrac23(B-T)=\left(\tfrac{5a}{6},\tfrac a6,\tfrac t3\right)$ となる。

3. 3

   切断面の方程式を求める。 計算のため $a=t=1$ とすると $\vec{PQ}=(-1,-1,0)$、$\vec{PK}=\left(-\tfrac76,\tfrac16,\tfrac13\right)$ であり、その外積は $(1,-1,4)$ に比例する。したがって平面は $x-y+4z=2$ であり、$Q$ と $K$ を代入すればどちらもこの上にあることが確かめられる。この平面は底面の正方形とはまったく交わらない点に注意する（$z=0$ では直線 $x-y=2$ となるが、底面上では $x-y\le 1$ である）。よって切り口は 4 本の側稜とだけ交わる。

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   平面が各側稜と交わる位置を求める。 各稜のパラメータ表示を $x-y+4z=2$ に代入すると、$TA$ 上の $M$ は $TM:TA=\tfrac12$、$TB$ 上の $K$ は $TK:TB=\tfrac23$、$TC$ 上の $N$ は $TN:TC=\tfrac12$、$TD$ 上の $L$ は $TL:TD=\tfrac25$ となる。切り口は四角形 $MKNL$ であり、上側の立体は $T.MKNL$ である。

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   上側の立体を 2 つの四面体に分け、体積比の規則を使う。 四面体では、共通の頂点から出る 3 辺を $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ 倍すると体積は $\lambda_1\lambda_2\lambda_3$ 倍になる。$T.ABC$ と $T.ACD$ の体積はどちらも $\tfrac12 V=\tfrac16 a^2t$ なので、$[T.MKN]=\tfrac12\cdot\tfrac23\cdot\tfrac12\cdot\tfrac16a^2t=\tfrac{1}{36}a^2t$、$[T.MNL]=\tfrac12\cdot\tfrac12\cdot\tfrac25\cdot\tfrac16a^2t=\tfrac{1}{60}a^2t$ となる。

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   2 つの四面体を足し、全体から引く。 $\tfrac{1}{36}+\tfrac{1}{60}=\tfrac{5}{180}+\tfrac{3}{180}=\tfrac{8}{180}=\tfrac{2}{45}$ なので、頂点を含む方の立体の体積は $\tfrac{2}{45}a^2t$ である。もう一方は $\tfrac13a^2t-\tfrac{2}{45}a^2t=\tfrac{15-2}{45}a^2t=\tfrac{13}{45}a^2t$ となる。

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   モンテカルロ積分で確認する。 単位サイズの四角錐（$a=t=1$）内に一様な点を 400 万個とり $x-y+4z>2$ を判定すると、頂点側の立体で $0.04436$、もう一方で $0.28864$ が得られ、厳密値 $\tfrac{2}{45}=0.04444$ と $\tfrac{13}{45}=0.28889$ に合う。