正四角錐 T-ABCD において、P は AD の中点、Q は AB の中点である。PQ を通り辺 TA に平行な平面を引く。この平面が四角錐を分ける 2 つの立体の体積比を求めよ。

Step-by-step solution

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   座標を設定する。 $A(0,0,0)$、$B(1,0,0)$、$C(1,1,0)$、$D(0,1,0)$、頂点 $T\left(\tfrac12,\tfrac12,1\right)$ ととる。体積比は底面の辺の長さにも高さにも依存しないので、体積 $\tfrac13$ の単位四角錐で十分である。このとき $P\left(0,\tfrac12,0\right)$、$Q\left(\tfrac12,0,0\right)$ である。

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   2 つの条件から平面を作る。 平面は $\vec{PQ}=\left(\tfrac12,-\tfrac12,0\right)$ を含み、$\vec{TA}=\left(-\tfrac12,-\tfrac12,-1\right)$ に平行でなければならない。両者の外積は $(1,1,-1)$ に比例するので、平面は $x+y-z=\tfrac12$ である。確認すると $\vec{TA}\cdot(1,1,-1)=-\tfrac12-\tfrac12+1=0$ なので平面はたしかに $TA$ に平行であり、$P$ と $Q$ はどちらもこの式を満たす。

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   切り口を求める。 底面 $z=0$ 上では平面は線分 $PQ$ を切り取る。辺 $TB$ ではその中点 $R$ で、辺 $TD$ でもその中点 $S$ で交わる。辺 $TC$ では点 $U$、すなわち $TU:TC=\tfrac14$ となる $U\left(\tfrac58,\tfrac58,\tfrac34\right)$ で交わる。辺 $TA$ は平面に平行なので決して交わらない。切り口は五角形 $Q\,R\,U\,S\,P$ である。

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   どの頂点がどちらの立体に入るかを決める。 $f(x,y,z)=x+y-z$ とすると $f(A)=0$、$f(T)=0$ でどちらも $\tfrac12$ より小さく、$f(B)=f(D)=1$、$f(C)=2$ はそれより大きい。したがって一方の立体は辺 $TA$ を含み、もう一方は $B$、$C$、$D$ を含む。

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   小さい方の立体を水平に切って求める。 高さ $z$ での四角錐の断面は 1 辺 $L=1-z$ の正方形 $x,y\in\left[\tfrac z2,1-\tfrac z2\right]$ である。$u=x-\tfrac z2$、$v=y-\tfrac z2$ と移すと条件 $x+y<\tfrac12+z$ は $u+v<\tfrac12$ になるので、面積は $L\ge\tfrac12$ の間は $\tfrac18$、次に $L^2-\tfrac12\left(2L-\tfrac12\right)^2$、そして $2L<\tfrac12$ になると $L^2$ となる。

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   3 つの区間を積分する。 $\int_0^{1/2}\tfrac18\,dz=\tfrac1{16}$、$\int_{1/2}^{3/4}\left[(1-z)^2-\tfrac12(1.5-2z)^2\right]dz=\tfrac{5}{192}$、$\int_{3/4}^{1}(1-z)^2dz=\tfrac{1}{192}$。合計は $\tfrac{12}{192}+\tfrac{5}{192}+\tfrac{1}{192}=\tfrac{18}{192}=\tfrac{3}{32}$ である。

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   比を作る。 四角錐全体の体積は $\tfrac13=\tfrac{32}{96}$、小さい方は $\tfrac{3}{32}=\tfrac{9}{96}$ なので、もう一方は $\tfrac{23}{96}$ となり、比は $9:23$ である。600 万点のモンテカルロ検算は $0.09378$ を与え、厳密値 $\tfrac{3}{32}=0.09375$ と合う。