断面が直角をはさむ 2 辺が 21 m と 15 m の直角三角形である三角柱があり、長さは 37 m である。その体積を求めよ。

Step-by-step solution

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   特別な場合の暗記ではなく、角柱の一般則を使う。 どんな角柱でも

   $V=(\text{断面積})\times(\text{長さ})$

   が成り立つ。長さ方向に垂直な断面がどこでも同じ形だからである。つまり、まず三角形の面積を単独で求める必要がある。

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   直角三角形の断面積を求める。 直角三角形では直角をはさむ 2 辺がそのまま底辺と高さになるので、三角比を持ち出す必要はない。

   $A=\frac12\times 21\times 15=\frac{315}{2}=157.5\ \text{m}^2$

   ここで係数 $\tfrac12$ を忘れて $21\times 15$ の長方形として扱うと、最終的な答えが 2 倍になってしまう。

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   角柱の長さを掛ける。

   $V=157.5\times 37$

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   掛け算を実行する。 $37$ を $30+7$ に分ける。

   $157.5\times 30=4725,\qquad 157.5\times 7=1102.5$

   $V=4725+1102.5=5827.5\ \text{m}^3$

   $\boxed{5827.5\ \text{m}^3}$

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   単位と大きさを確かめる。 メートルの長さ 2 つから $\text{m}^2$ の面積が出て、3 つ目の長さを掛けて $\text{m}^3$ になる——体積として正しい。評価としては、この角柱は $21\times 15\times 37=11655\ \text{m}^3$ の直方体に収まり、そのちょうど半分を占める。$5827.5$ と一致する。