円に内接する四角形 ABCD があり、外接円の点 A における接線を l とする。l と直線 CD の交点を P とし、AD = 3、DP = 8、PA = 10 である。CD の長さを求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   点 P のまわりの配置を見きわめる。 外部の点 $P$ から円へ 2 本の直線が引かれている。$A$ で接する接線 $PA$ と、$D$ と $C$ を通る割線である。これはまさに方べきの定理（接線と割線の場合）の設定である。

2. 2

   定理を述べる。 円に関する $P$ の方べきは 2 通りに計算でき、

   $PA^{2}=PD\cdot PC$

   が成り立つ。ここで $PD$ と $PC$ は、$P$ から割線が円と交わる近い点と遠い点までの距離である。接線の長さは 2 乗され、割線は 2 つの距離の積で寄与する——$PD\cdot DC$ ではない点に注意する。

3. 3

   与えられた長さを代入する。

   $10^{2}=8\cdot PC\quad\Longrightarrow\quad 100=8\,PC\quad\Longrightarrow\quad PC=\frac{100}{8}=\frac{25}{2}=12.5$

4. 4

   引き算して弦を求める。 割線上で $D$ は $P$ と $C$ の間にあるので

   $CD=PC-PD=\frac{25}{2}-8=\frac{25}{2}-\frac{16}{2}=\frac92=4.5$

   $\boxed{CD=\dfrac92}$

5. 5

   整合性を確かめる。 $PD=8<PC=12.5$ なので、仮定どおり $D$ が近いほうの交点である。また $PA=10$ は $PD=8$ と $PC=12.5$ の間にあり、これは定理から必然である。$PA=\sqrt{PD\cdot PC}$ は 2 数の相乗平均であり、相乗平均は必ず 2 数の間に位置する。$AD=3$ という条件はこの小問には不要で、設問の後半で使われるものである。

6. 6

   三角不等式でもう一段確認する。 三角形 $APD$ の辺は $PA=10$、$PD=8$、$AD=3$ である。$8+3=11>10$ ✓ なので、そのような三角形は存在し、配置に矛盾はない。