頂点が (2,3)、(4,3)、(3,5) の三角形に変換 (x, y) → (−x, −y) を施す。これは平行移動、y 軸に関する対称移動、原点を中心とする 180 度の回転、x 軸に関する対称移動のどれか。

Step-by-step solution

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   この規則を標準的な規則と見比べる。 基本的な変換にはそれぞれ座標上の特徴がある：

   $\text{対称移動（}y\text{ 軸）}:(x,y)\to(-x,y);\quad \text{対称移動（}x\text{ 軸）}:(x,y)\to(x,-y)$

   $\text{回転 }180^{\circ}\text{、中心 }O:(x,y)\to(-x,-y);\quad \text{平行移動}:(x,y)\to(x+h,y+k)$

   与えられた規則は両方の座標の符号を変えており、これに合うのは 3 番目だけである。

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   平行移動を排除する。 平行移動はすべての点に同じ固定ベクトルを加える。ここでは $(2,3)\to(-2,-3)$ の移動が $(-4,-6)$ なのに対し $(3,5)\to(-3,-5)$ の移動は $(-6,-10)$ ——ベクトルが違うので平行移動ではない。

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   2 つの対称移動も排除する。 $y$ 軸に関する対称移動なら $y$ は変わらず $(2,3)$ は $(-2,3)$ へ、$x$ 軸に関する対称移動なら $x$ は変わらず $(2,-3)$ へ移る。どちらも実際の像 $(-2,-3)$ とは一致しない。

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   半回転であることを図形的に確かめる。 任意の点 $P=(x,y)$ について、その像 $P'=(-x,-y)$ は次を満たす。$\tfrac{x+(-x)}{2}=0$、$\tfrac{y+(-y)}{2}=0$ なので原点は $PP'$ の中点であり、$|OP'|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=|OP|$ である。距離が同じで向きが逆——これはまさに原点を中心とする $180^{\circ}$ の回転である。

   $\boxed{\text{C：原点を中心とする }180^{\circ}\text{ の回転。例えば }(2,3)\to(-2,-3)}$

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   三角形全体に施し、性質を押さえる。 像の頂点は $(-2,-3)$、$(-4,-3)$、$(-3,-5)$ である。半回転は長さと角を保つ合同変換だが、対称移動と違って向きを保つ——頂点の回る順序は変わらない。また自分自身が逆変換でもあり、2 回施すとすべての点が元に戻る。