円 (x − 5)² + (y + 3)² = 9 の中心と半径を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   標準形を書き出す。 中心 $(h,k)$、半径 $r$ の円の方程式は

   $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$

   である。標準形ではどの括弧の中も引き算になっており、次のステップはまさにこの点にかかっている。

2. 2

   x の括弧を対応させる。 $(x-5)^{2}$ は $(x-h)^{2}$ とそのまま対応し、$h=5$ である。

3. 3

   y の括弧は慎重に対応させる。 与えられた括弧は $(y+3)^{2}$ であり、形を合わせるには引き算に書き直さなければならない：

   $(y+3)^{2}=\big(y-(-3)\big)^{2}\quad\Longrightarrow\quad k=-3$

   ここで $k=3$ と読んでしまうのが定番の符号ミスである。

4. 4

   半径を取り出す。 右辺は $r$ ではなく $r^{2}$ である：

   $r^{2}=9\quad\Longrightarrow\quad r=\sqrt9=3$

   （半径は長さなので、正の平方根だけをとる。）

5. 5

   答えを述べる。

   $\boxed{\text{中心 }(5,-3),\quad \text{半径 }3}$

6. 6

   円周上の点で検算する。 中心から右に $3$ 進むと $(8,-3)$ となり、代入すると $(8-5)^{2}+(-3+3)^{2}=9+0=9$ ✓。上に $3$ 進むと $(5,0)$ となり、$0+9=9$ ✓。どちらも円周上にあり、中心と半径がまとめて確かめられる。