∠xAy を鋭角とし、B を半直線 Ax 上の点、Bm を ∠xAy の内部にあって Ay に平行な半直線とする。Au、Bv をそれぞれ ∠xAy、∠xBm の二等分線とする。(a) Au ∥ Bv を証明せよ。(b) Bz が ∠ABm を二等分するとき、∠vBz = 90° を証明せよ。(c) Bz ⊥ Au を導け。

Step-by-step solution

1. 1

   (a) 平行な半直線を使って角を移す。 $Bm\parallel Ay$ であり、$Ax$ が $A$ と $B$ で両者を切る横断線なので、$\angle xBm$ と $\angle xAy$ は同位角であり等しい：

   $\angle xBm=\angle xAy$

2. 2

   等しい 2 つの角をともに半分にする。 二等分線は等しい角を等しい半分に分けるので

   $\angle xBv=\tfrac12\angle xBm=\tfrac12\angle xAy=\angle xAu$

   となる。この 2 つは、$Au$ と $Bv$ を切る横断線 $Ax$ に対する同位角である。同位角が等しければ 2 直線は平行になる：

   $Au\parallel Bv$

3. 3

   (b) B における補角の組を見つける。 $A$、$B$ と方向 $x$ は 1 本の直線上にあり、$B$ は $A$ と $x$ の方向の間にあるので、半直線 $BA$ と $Bx$ は互いに反対を向いている。よって $\angle ABm$ と $\angle xBm$ は一直線をなす角の組である：

   $\angle ABm+\angle xBm=180^{\circ}$

4. 4

   一直線をなす角の組を半分にする。 $Bz$ は $\angle ABm$ を、$Bv$ は $\angle xBm$ を二等分し、二等分された 2 つの角は直線に沿って隣り合っているので

   $\angle vBz=\tfrac12\angle xBm+\tfrac12\angle ABm=\tfrac12\left(\angle xBm+\angle ABm\right)=\tfrac12(180^{\circ})=90^{\circ}$

   $\boxed{\angle vBz=90^{\circ}}$

   これは「隣り合う補角どうしの二等分線は常に垂直である」という一般的な事実である。

5. 5

   (c) 2 つの結果を組み合わせる。 (b) より $Bz\perp Bv$、(a) より $Bv\parallel Au$ である。平行な 2 直線の一方に垂直な直線は他方にも垂直なので

   $Bz\perp Au$

   $\boxed{Au\parallel Bv,\quad \angle vBz=90^{\circ},\quad Bz\perp Au}$

6. 6

   具体的な角で確かめる。 $\angle xAy=60^{\circ}$ とする。すると $\angle xBm=60^{\circ}$ なので $\angle xBv=30^{\circ}=\angle xAu$ ✓（同位角が等しい）。また $\angle ABm=120^{\circ}$ なので $\angle ABz=60^{\circ}$ となり、$\angle vBz=30^{\circ}+60^{\circ}=90^{\circ}$ ✓ である。なお (c) の結論は $Bz\perp Au$ であって $Bz\perp Ay$ ではない——$Au$ がたまたま $Ay$ に一致しない限り、この 2 直線は別物である。