半直線 Mx と Ny は平行で、点 P は 2 直線に挟まれた帯の中にあり、∠xMP = 110°、∠yNP = 140° である。∠MPN を求めよ。

Step-by-step solution

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   P を通り両方に平行な補助線を引く。 与えられた 2 つの角は別々の頂点にあるので、そのままでは何も結びつかない。$P$ を通り $Mx$ に平行な（したがって $Ny$ にも平行な）半直線 $Pz$ を導入すると、$\angle MPN$ が 2 つに分かれ、それぞれを与えられた角のどちらか一方と結びつけられる。

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   M で同側内角を使う。 $Mx\parallel Pz$ で $MP$ が横断線なので、$\angle xMP$ と $\angle MPz$ は同側内角であり和は $180^{\circ}$ になる：

   $\angle MPz=180^{\circ}-110^{\circ}=70^{\circ}$

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   N でも同側内角を使う。 同様に $Ny\parallel Pz$ で $NP$ が横断線なので：

   $\angle NPz=180^{\circ}-140^{\circ}=40^{\circ}$

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   2 つの部分を足す。 $Pz$ は $\angle MPN$ の内部にあるので（「$P$ は 2 直線の間にある」という条件が保証しているのはこのことである）、

   $\angle MPN=\angle MPz+\angle NPz=70^{\circ}+40^{\circ}=110^{\circ}$

   $\boxed{110^{\circ}}$

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   近道とその成立条件を押さえる。 同じ計算は次の一行にまとめられる：

   $\angle MPN=360^{\circ}-110^{\circ}-140^{\circ}=110^{\circ}$

   というのも、3 つの角 $\angle xMP$、$\angle MPN$、$\angle yNP$ が補助線のまわりで一周を閉じるからである。この近道が使えるのは、折れ点が本当に 2 本の平行線の間にあるときに限る。帯の外にあるなら、2 つの部分は足すのではなく引くことになる。

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   大きさの妥当性を確認する。 与えられた 2 つの角はどちらも鈍角なので、$P$ にはそれぞれ小ぶりな鋭角（$70^{\circ}$ と $40^{\circ}$）が現れる。その和 $110^{\circ}$ は鈍角だが $180^{\circ}$ より小さく、$P$ が 2 直線の間に真に位置していることと整合する。