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Geometry · real student question

三角形 ABC で AF は BC への垂線、AD は ∠BAC の二等分線である。∠B = 36°、∠C = 76° のとき、三角形 ADF の 3 つの角を求めよ。

Question

△ABC\triangle ABC において、AFAF は辺 BCBC への垂線であり、ADAD は ∠BAC\angle BAC の二等分線である（DD と FF は BCBC 上にある）。∠B=36∘\angle B=36^{\circ}、∠C=76∘\angle C=76^{\circ} のとき、△ADF\triangle ADF の 3 つの角を求めよ。

Step-by-step solution

  1. 頂角を求める。 △ABC\triangle ABC の内角の和は 180∘180^{\circ} である：

    ∠A=180∘−36∘−76∘=68∘\angle A=180^{\circ}-36^{\circ}-76^{\circ}=68^{\circ}

  2. 垂線から ∠BAF を求める。 直角三角形 ABFABF では FF における角が 90∘90^{\circ} なので

    ∠BAF=90∘−∠B=90∘−36∘=54∘\angle BAF=90^{\circ}-\angle B=90^{\circ}-36^{\circ}=54^{\circ}

  3. 二等分線から ∠BAD を求める。

    ∠BAD=∠A2=68∘2=34∘\angle BAD=\frac{\angle A}{2}=\frac{68^{\circ}}{2}=34^{\circ}

    34∘<54∘34^{\circ}<54^{\circ} なので半直線 ADAD は ABAB と AFAF の間にあり、DD は底辺上で BB と FF の間に位置する。

  4. 引き算して三角形 ADF の A における角を求める。

    ∠DAF=∠BAF−∠BAD=54∘−34∘=20∘\angle DAF=\angle BAF-\angle BAD=54^{\circ}-34^{\circ}=20^{\circ}

  5. 残る 2 つの角を読み取る。 AF⊥BCAF\perp BC で DD は BCBC 上にあるので

    ∠AFD=90∘\angle AFD=90^{\circ}

    であり、△ADF\triangle ADF の内角の和は 180∘180^{\circ} でなければならないから

    ∠ADF=180∘−20∘−90∘=70∘\angle ADF=180^{\circ}-20^{\circ}-90^{\circ}=70^{\circ}

    ∠DAF=20∘, ∠AFD=90∘, ∠ADF=70∘\boxed{\angle DAF=20^{\circ},\ \angle AFD=90^{\circ},\ \angle ADF=70^{\circ}}

  6. 三角形 ABD を通して ∠ADF を別経路で検算する。 △ABD\triangle ABD では ∠ABD=36∘\angle ABD=36^{\circ}、∠BAD=34∘\angle BAD=34^{\circ} なので ∠ADB=110∘\angle ADB=110^{\circ} となる。BB、DD、FF は同一直線上にあるので ∠ADF=180∘−110∘=70∘\angle ADF=180^{\circ}-110^{\circ}=70^{\circ} ✓——最初の経路と一致する。

  7. この問題が示す一般則に触れる。 同じ頂点から引いた垂線と二等分線のなす角は、常に他の 2 角の差の半分になる：12(∠C−∠B)=12(76∘−36∘)=20∘\tfrac12\left(\angle C-\angle B\right)=\tfrac12(76^{\circ}-36^{\circ})=20^{\circ} であり、まさに ∠DAF\angle DAF に等しい。なお ∠AFD\angle AFD を 90∘90^{\circ} 以外の値としている解答には注意したい——垂線の足である以上、そこは必ず直角になる。

Answer

∠DAF=20∘, ∠AFD=90∘, ∠ADF=70∘\angle DAF=20^{\circ},\ \angle AFD=90^{\circ},\ \angle ADF=70^{\circ}

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