四角形 MNPQ で ∠N = ∠M + 10°、∠P = ∠N + 10°、∠Q = ∠P + 10° である。4 つの角をすべて求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   すべての角を 1 つの未知数で表す。 $\widehat{M}=x$ と置く。3 つの条件を順につないでいくと

   $\widehat{N}=x+10^{\circ},\qquad \widehat{P}=(x+10^{\circ})+10^{\circ}=x+20^{\circ},\qquad \widehat{Q}=x+30^{\circ}$

   となる。各条件は直前の角を基準にしているので、ずれは $10^{\circ}$ のままではなく積み上がっていく。

2. 2

   四角形の内角の和を使う。 どんな四角形でも内角の総和は $360^{\circ}$ である（2 つの三角形に分ければよい）：

   $x+(x+10^{\circ})+(x+20^{\circ})+(x+30^{\circ})=360^{\circ}$

3. 3

   一次方程式を解く。

   $4x+60^{\circ}=360^{\circ}\quad\Longrightarrow\quad 4x=300^{\circ}\quad\Longrightarrow\quad x=75^{\circ}$

4. 4

   4 つの角を書き出す。

   $\widehat{M}=75^{\circ},\quad \widehat{N}=85^{\circ},\quad \widehat{P}=95^{\circ},\quad \widehat{Q}=105^{\circ}$

   $\boxed{75^{\circ},\ 85^{\circ},\ 95^{\circ},\ 105^{\circ}}$

5. 5

   和を確かめ、近道にも触れる。 $75+85+95+105=360$ ✓。4 つの角は等差数列をなすので、その平均 $360\div 4=90^{\circ}$ は真ん中の 2 つのちょうど中間に位置しなければならない——実際 $\tfrac{85+95}{2}=90^{\circ}$ である。ここから一行で求める道が開ける。真ん中の 2 つは $90\mp 5$、外側の 2 つは $90\mp 15$ である。

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   図が描けることを確認する。 4 つの角はいずれも $0^{\circ}$ と $180^{\circ}$ の間に厳密に収まっているので、この四角形は凸であり、凹んだ頂点なしに描ける。