1200 ドルを年利 6.5%、連続複利で 5 年間借りる。途中で一度も返済しないとき、5 年後の返済額をセント単位に四捨五入して求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   連続複利の公式を選ぶ。 連続的に複利計算される利息は、$n$ を大きくした $\left(1+\tfrac{r}{n}\right)^{nt}$ そのものではなく、その極限である：

   $A=Pe^{rt}.$

2. 2

   3 つの入力を確認し、利率を小数に直す。

   $P=1200,\qquad r=6.5\%=0.065,\qquad t=5\ \text{年}.$

   $r$ を $0.065$ にせず $6.5$ のままにしてしまうのが、ここで最も多い致命的なミスである。

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   指数を計算する。

   $rt=0.065\times 5=0.325.$

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   精度を落とさずに指数関数を評価する。

   $e^{0.325}=1.38403064\ldots$

   これを例えば $1.384$ に丸めてしまうと最終的な答えが 4 セントほどずれる。問題文が途中で四捨五入するなと指示しているのは、まさにこのためである。

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   掛けてセント単位に四捨五入する。

   $A=1200\times 1.38403064=1660.83678\ \Longrightarrow\ \$1660.84.$

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   単利と比べて妥当性を確認する。 単利であれば 1200(1+0.325)=\1590$となり、利息が利息を生む連続複利はこれを上回らなければならない。5 年で約$$71$の差というのは、$6.5%$ という利率に対して妥当な大きさである。