A = {2, 4, 5, 6}、B = {1, 3, 5, 7}、C = {3, 4, 6, 9, 10}、D = {1, 2, 3, 7, 8, 9} とする。A ∪ B、B ∪ C、C ∪ D、A ∩ B、C ∩ D、D ∩ A を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   計算の前に 2 つの定義を確認する。 $A\cup B$（和集合）は $A$ または $B$ または両方に属する要素をすべて、1 つずつ含む。$A\cap B$（共通部分）は両方に属する要素だけを含む。答えを小さい順に書く習慣をつけておくと、要素の抜けや重複に気づきやすい。

2. 2

   3 つの和集合を求める。 要素を合わせて重複を消す。

   $A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,7\}$

   $B\cup C=\{1,3,4,5,6,7,9,10\}$

   $C\cup D=\{1,2,3,4,6,7,8,9,10\}$

   $5$ は $A$ と $B$ の両方にあるが、$A\cup B$ では 1 回しか書かない点に注意する。

3. 3

   A ∩ B を求める。 $A=\{2,4,5,6\}$ と $B=\{1,3,5,7\}$ を突き合わせると、両方にあるのは $5$ だけである。

   $A\cap B=\{5\}$

4. 4

   C ∩ D を求める。 $C=\{3,4,6,9,10\}$ と $D=\{1,2,3,7,8,9\}$ は $3$ と $9$ を共有する。

   $C\cap D=\{3,9\}$

5. 5

   D ∩ A を求める。 $D=\{1,2,3,7,8,9\}$ と $A=\{2,4,5,6\}$ が共有するのは $2$ だけである。共通部分は可換なので $D\cap A=A\cap D$ である。

   $D\cap A=\{2\}$

   $\boxed{A\cup B=\{1,\ldots,7\},\ B\cup C=\{1,3,4,5,6,7,9,10\},\ C\cup D=\{1,2,3,4,6,7,8,9,10\},\ A\cap B=\{5\},\ C\cap D=\{3,9\},\ D\cap A=\{2\}}$

6. 6

   要素数の公式で各組を確認する。 $|X\cup Y|=|X|+|Y|-|X\cap Y|$ である。$A$ と $B$ では $4+4-1=7$ ✓。$C$ と $D$ では $5+6-2=9$ ✓。$B$ と $C$ では $|B\cap C|=|\{3\}|=1$ なので $4+5-1=8$ ✓。3 つの和集合の要素数はいずれも予想どおりである。