列車はかつて A 駅から B 駅まで 10 時間かかっていたが、今は 8 時間で着く。速さは何パーセント増えたか。

Step-by-step solution

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   距離が一定であることに注目する。 同じ経路なので、速さと時間は反比例する。$v=\dfrac{S}{t}$ である。だからこそ答えは、時間が減った割合である $20\%$ そのものにはならない——割合を測る基準が違うのである。

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   共通の距離を使って両方の速さを書く。 距離を $S$ とすると

   $v_{\text{旧}}=\frac{S}{10},\qquad v_{\text{新}}=\frac{S}{8}$

   となる。

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   比を作って S を消す。

   $\frac{v_{\text{新}}}{v_{\text{旧}}}=\frac{S/8}{S/10}=\frac{10}{8}=1.25$

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   比を増加率に直す。 比が $1.25$ ということは、新しい速さが旧来の $125\%$ だということであり、増加は

   $1.25-1=0.25=25\%$

   $\boxed{25\%}$

   である。

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   具体的な数で確かめる。 $S=80$ km とすると $v_{\text{旧}}=8$ km/h、$v_{\text{新}}=10$ km/h であり、$8$ を基準として $2$ km/h の増加、すなわち $\tfrac28=25\%$ である ✓。

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   20% がなぜ魅力的な誤答なのかを押さえる。 時間は $\tfrac{10-8}{10}=20\%$ 減っているが、この割合は旧来の時間を基準に測ったものであり、速さの増加は旧来の速さを基準に測る。一般則はこうである。時間が $k$ 倍になれば速さは $1/k$ 倍になる。ここでは $k=0.8$ で $1/0.8=1.25$ である。