p = 3³ × 5⁴ × 7⁵ × 11 と q = 3 × 5³ × 7⁴ の最大公約数を求めよ。答えは指数の形で示せ。

Step-by-step solution

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   すでに因数分解されていることに気づく。 $p$ も $q$ も素数のべきの積として与えられている。この問題の要点はまさにそこにある。最大公約数の難所——各数を素因数に分解すること——はすでに済んでいるので、展開してはいけない。$p$ だけでも $3^3\times5^4\times7^5\times11 = 3{,}119{,}799{,}375$ であり、それを素因数分解し直すのは無駄な作業である。

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   最大公約数についての指数の規則を思い出す。 最大公約数は両方を割り切る最大の数である。素数のべき $r^k$ が $p$ を割り切るのは $k$ が $p$ における $r$ の指数以下のときだけ、$q$ を割り切るのは $k$ が $q$ における指数以下のときだけである。よって各素数について、2 つの指数の小さいほうを取る：

   $\text{HCF} = \prod_r r^{\min(a_r,\,b_r)}$

3. 3

   素数を並べて比べる。 現れるすべての素数について各数の指数を書き、存在しない素数には指数 $0$ を割り当てる：

   素数	$p$ での指数	$q$ での指数	小さいほう
   $3$	$3$	$1$	$1$
   $5$	$4$	$3$	$3$
   $7$	$5$	$4$	$4$
   $11$	$1$	$0$	$0$

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   素数 11 を慎重に扱う。 点を落としやすいのがここである。$11$ は $p$ には現れるが $q$ には現れないので、$q$ での指数は $0$ で $\min(1,0)=0$ となる。$11^0=1$ なので、因子 $11$ は最大公約数から完全に消える——一方の数にしかない素数が最大公約数に含まれることは決してない。

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   指数の形で答えをまとめる。

   $\text{HCF}(p,q) = 3^1 \times 5^3 \times 7^4 = 3 \times 5^3 \times 7^4$

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   除法で確認する。 掛け合わせると $3\times125\times2401 = 900{,}375$ である。割ってみると $q \div 900{,}375 = 1$ ——もっと簡単に言えば $q = 3\times5^3\times7^4 = 900{,}375$ ちょうどなので、最大公約数は $q$ 自身に等しい。これは筋が通っている。$q$ のどの指数も $p$ の対応する指数以下だからである。したがって $q$ は $p$ を割り切り、$900{,}375$ は両方を割り切る。