命題変数 p の真理値が 1 であるとする。(p → ((¬p ∨ r) ∧ ¬s)) ∧ (¬s → (¬r ∧ p)) の真理値が 1 になるような q, r, s の真理値をすべて求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   q がまったく現れないことに気づく。 変数 $q$ は論理式のどこにも現れないので、その値は無関係である——どんな結論も $q=0$ と $q=1$ の両方で成り立つ。これを最初に見抜けば場合分けが半分になる。

2. 2

   p = 1 を使って第 1 の連言項を簡約する。 $p=1$ なので $\neg p=0$、したがって $\neg p\vee r=r$ である。さらに $1\to X\equiv X$ なので

   $p\to[(\neg p\vee r)\wedge\neg s]\;\equiv\;r\wedge\neg s$

   となる。連言全体が $1$ になるには、これが $r=1$ かつ $s=0$ を強制する。

3. 3

   p = 1 を使って第 2 の連言項を簡約する。 ここでは $\neg r\wedge p=\neg r$ なので

   $\neg s\to(\neg r\wedge p)\;\equiv\;\neg s\to\neg r\;\equiv\;s\vee\neg r$

4. 4

   2 つの要求を突き合わせる。 論理式が $1$ になるのはちょうど

   $(r\wedge\neg s)\wedge(s\vee\neg r)=1$

   のときである。左の因子は $r=1,\ s=0$ を要求するが、それを右の因子に代入すると $s\vee\neg r=0\vee 0=0$ になる。したがって連言は $0$ である。

5. 5

   p = 1 のもとでは充足不能だと結論する。

   $\boxed{\text{どの }q,r,s\text{ も論理式を真にしない（}p=1\text{ のとき）}}$

   $(r,s)=(0,1),(1,1),(1,0),(0,0)$ を並べた選択式の形になっている場合、選択肢はすべて誤りである。

6. 6

   真理値表を尽くして検証する。 $p=1$ のもとで 4 通りの $(r,s)$ を $(r\wedge\neg s)\wedge(s\vee\neg r)$ に当てはめる：$(0,0)\to 0\wedge 1=0$、$(0,1)\to 0\wedge 1=0$、$(1,0)\to 1\wedge 0=0$、$(1,1)\to 0\wedge 1=0$。4 通りすべてが $0$ となり、代数的な簡約が裏づけられる。言い換えれば $r\wedge\neg s$ と $s\vee\neg r=\neg(r\wedge\neg s)$ はちょうど互いの否定なので、その連言は $p$ の値を持ち出すまでもなく恒偽である。