関数 f(x) = |x| + 10 を左に 8、下に 2 だけ平行移動する。移動後の関数を書け。

Step-by-step solution

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   2 種類の移動を切り分ける。 横と縦の平行移動は別々の規則に従っており、これを取り違えるのが定番の誤りである。

   $\text{右に } h \text{ 移動: } x\mapsto x-h\ \text{（内側）},\qquad \text{上に } k \text{ 移動: } +k\ \text{（外側）}$

   関数の内側では符号は進む向きと逆になり、外側では一致する。

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   横の移動を適用する。 左に $8$ 動かすのは $h=-8$ にあたるので、$x$ は $x-(-8)=x+8$ に置き換わる。

   $|x|+10\ \longrightarrow\ |x+8|+10$

   内側の $+8$ がグラフを左へ動かす、というのがまさに直感に反する部分である。頂点は $x=0$ にあったが、いまは $x=-8$ にある。

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   縦の移動を適用する。 下に $2$ 動かすのは出力全体から $2$ を引くことである。

   $|x+8|+10-2=|x+8|+8$

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   頂点を追って確認する。 もとの頂点は $(0,10)$ にある。左に $8$、下に $2$ 動かせば $(-8,8)$ に来るはずである。新しい式では $|x+8|$ は $x=-8$ で最小になり、そのときの値は $0+8=8$ なので頂点は $(-8,8)$ ✓。

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   もう 1 点で確かめる。 もとの関数では $f(0)=10$ である。この点 $(0,10)$ が $(-8,8)$ に移ることはすでに確認した。またもとの点 $(8,18)$ は $(0,16)$ に移るはずで、新しい関数は $|0+8|+8=16$ ✓ を与える。