A = [[9,1,1],[1,2,1],[1,18,1]]、C = [[10,2,2],[2,3,2],[2,19,2]] のとき、(A + C)^2 を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   2 乗する前に足す。二項展開をしてはいけない。 $(A+C)^2=A^2+2AC+C^2$ と書きたくなるが、この恒等式が成り立つには $AC=CA$ が必要で、行列は一般にそれを満たさない。先に足してしまえばこの問題は完全に回避でき、しかも計算量もはるかに少ない。

2. 2

   行列を成分ごとに足す。 どちらも $3\times 3$ なので和が定義される。

   $S=A+C=\begin{pmatrix}19&3&3\\3&5&3\\3&37&3\end{pmatrix}$

3. 3

   2 乗を S·S として設定する。 $S^2$ の各成分は、$S$ の行と $S$ の列の内積である。$S$ の列は $(19,3,3)$、$(3,5,37)$、$(3,3,3)$ である。

4. 4

   第 1 行を計算する。

   $(19,3,3)\cdot(19,3,3)=361+9+9=379$

   $(19,3,3)\cdot(3,5,37)=57+15+111=183$

   $(19,3,3)\cdot(3,3,3)=57+9+9=75$

5. 5

   第 2 行と第 3 行を計算する。

   $(3,5,3)\cdot(19,3,3)=57+15+9=81,\quad (3,5,3)\cdot(3,5,37)=9+25+111=145,\quad (3,5,3)\cdot(3,3,3)=33$

   $(3,37,3)\cdot(19,3,3)=57+111+9=177,\quad (3,37,3)\cdot(3,5,37)=9+185+111=305,\quad (3,37,3)\cdot(3,3,3)=129$

6. 6

   結果をまとめる。

   $\boxed{(A+C)^{2}=\begin{pmatrix}379&183&75\\81&145&33\\177&305&129\end{pmatrix}}$

7. 7

   第 3 列を手早く検算する。 $S$ の第 3 列の成分はすべて $3$ なので、$S^2$ の第 3 列は $3\times$（$S$ の各行の和）でなければならない。行の和は $25$、$11$、$43$ なので $75$、$33$、$129$ となり、計算した値と一致して計算の正しさが裏づけられる。