A = [[9,1,1],[1,2,1],[1,18,1]]、B = 成分がすべて 1 の 3×2 行列とするとき、AB を計算し、AᵗBᵗ が定義されるかどうかを判定せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   掛ける前に型を確認する。 $A$ は $3\times 3$、$B$ は $3\times 2$ である。内側の次元が一致する（$3=3$）ので $AB$ は存在し、外側の次元をもつ $3\times 2$ 行列になる。

2. 2

   B の構造を活かす。 $B$ のどの列も $(1,1,1)^{t}$ なので、$AB$ の各成分は単に $A$ の 1 つの行の和であり、$AB$ の 2 つの列は同一になる。

3. 3

   3 つの行の和を計算する。

   $9+1+1=11,\qquad 1+2+1=4,\qquad 1+18+1=20$

   したがって

   $AB=\begin{pmatrix}11&11\\4&4\\20&20\end{pmatrix}$

4. 4

   (b) AᵗBᵗ の型を確認する。 転置は次元を入れ替えるので、$A^{t}$ は $3\times 3$、$B^{t}$ は $2\times 3$ である。積 $A^{t}B^{t}$ が成り立つには内側の次元が一致しなければならない。すなわち $3$（$A^t$ の列数）$=2$（$B^t$ の行数）である必要があるが、そうはならない。ゆえに

   $A^{t}B^{t}\ \textbf{は定義されない。}$

5. 5

   成り立つほうの公式を述べる。 積の転置は順序を逆にする：

   $(AB)^{t}=B^{t}A^{t}$

   ここで $B^{t}$ は $2\times 3$、$A^{t}$ は $3\times 3$ なので $B^{t}A^{t}$ は $2\times 3$ であり、これはちょうど $(AB)^{t}$ の型と一致する。

6. 6

   公式を数値で検証する。

   $B^{t}A^{t}=\begin{pmatrix}11&4&20\\11&4&20\end{pmatrix}=(AB)^{t}$

   これは確かに (a) で求めた $AB$ の転置である。計算と順序逆転の規則の両方が確かめられた。

   $\boxed{AB=\begin{pmatrix}11&11\\4&4\\20&20\end{pmatrix};\quad A^{t}B^{t}\text{ は定義されない};\quad (AB)^{t}=B^{t}A^{t}}$