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Algebra · real student question

x について解け：1/x³ − 1/(5 × 10⁻⁵)³ = 3.1100685 × 10¹¹。

Question

xx について解け。

1x3−1(5×10−5)3=3.1100685×1011\frac{1}{x^3} - \frac{1}{\left(5\times 10^{-5}\right)^3} = 3.1100685\times 10^{11}

Step-by-step solution

  1. まず既知の定数を計算する。 底と 10 のべきを別々に 3 乗する。

    (5×10−5)3=53×10−15=125×10−15=1.25×10−13\left(5\times 10^{-5}\right)^3 = 5^3 \times 10^{-15} = 125\times 10^{-15} = 1.25\times 10^{-13}

    指数には 33 を掛けるのであって 33 を足すのではない——10−810^{-8} ではなく 10−1510^{-15} である。

  2. 逆数をとる。 逆数をとると仮数が逆になり、指数の符号も反転する。

    11.25×10−13=0.8×1013=8×1012\frac{1}{1.25\times 10^{-13}} = 0.8 \times 10^{13} = 8\times 10^{12}

  3. その定数を両辺に足して 1/x³ を孤立させる。

    1x3=8×1012+3.1100685×1011\frac{1}{x^3} = 8\times 10^{12} + 3.1100685\times 10^{11}

    足すには、両方の項を同じ 10 のべきに揃える。

    =80×1011+3.1100685×1011=83.1100685×1011=8.31100685×1012= 80\times 10^{11} + 3.1100685\times 10^{11} = 83.1100685\times 10^{11} = 8.31100685\times 10^{12}

    指数を揃えずに仮数だけを足してしまうのが、ここでの定番の誤りである。

  4. もう一度逆数をとって x³ を求める。

    x3=18.31100685×1012=1.20322×10−13x^3 = \frac{1}{8.31100685\times 10^{12}} = 1.20322\times 10^{-13}

  5. 立方根をとる。 指数が 33 の倍数になるように、仮数と 10 のべきを分け直す。

    x=120.322×10−153=120.3223×10−5=4.9368×10−5x = \sqrt[3]{120.322\times 10^{-15}} = \sqrt[3]{120.322}\times 10^{-5} = 4.9368\times 10^{-5}

    10−1310^{-13} を 120.322×10−15120.322\times10^{-15} と書き直すことが、10 のべきの立方根をきっちり取れるようにしている。

  6. 代入して確かめる。 x=4.9368×10−5x = 4.9368\times 10^{-5} のとき

    1x3=8.3112×1012,8.3112×1012−8×1012=3.1119×1011 ✓\frac{1}{x^3} = 8.3112\times 10^{12}, \qquad 8.3112\times 10^{12} - 8\times 10^{12} = 3.1119\times 10^{11} \ \checkmark

    となる。xx が 5×10−55\times 10^{-5} にどれほど近いかに注目したい。右辺は 8×10128\times10^{12} のわずか 3.9%3.9\% ほどで、xx は逆数の立方根として変化するので、そのずれは xx を約 1.3%1.3\% しか動かさない。

Answer

x≈4.9368×10−5x \approx 4.9368\times 10^{-5}

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