2*pi*R*k*sin(a) - 2*pi*a*k = m*g*tan(a) / (2*pi) を k について解け。

Step-by-step solution

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   左辺の両方の項に $k$ が現れることを見抜く。 どちらの辺も展開する必要はない。この問題は丸ごと因数分解である。左辺の 2 項はどちらも共通因数 $2\pi k$ を含む： $2\pi Rk\sin\alpha-2\pi ak=2\pi k\left(R\sin\alpha-a\right).$ $k$ を 1 つの因数にまとめることが、1 回の割り算で分離できるようにする鍵である。

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   $k$ をまとめた形で方程式を書き直す。 $2\pi k\left(R\sin\alpha-a\right)=\frac{mg\tan\alpha}{2\pi}$ いま $k$ に掛かるものはすべて 1 つのかっこに収まり、それ以外はすべて右辺にある。

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   $k$ の係数全体で割る。 両辺を $2\pi\left(R\sin\alpha-a\right)$ で割ると $k=\frac{\dfrac{mg\tan\alpha}{2\pi}}{2\pi\left(R\sin\alpha-a\right)}.$ 右辺の分母にもとからある $2\pi$ は、新しく現れたほうと打ち消し合わないことに注意したい——2 度目に $2\pi$ で割ると、分母どうしが掛け合わされるからである。

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   二重分数を整理する。 2 つの分母を掛け合わせて $k=\frac{mg\tan\alpha}{4\pi^{2}\left(R\sin\alpha-a\right)}.$ この $4\pi^{2}$ こそ最も間違えられるところで、代わりに $2\pi$ や $2\pi^{2}$ と書いてしまう例が多い。

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   制限を述べる。 この割り算が正当なのは $R\sin\alpha-a\neq 0,$ すなわち $\sin\alpha\neq a/R$ のときだけである。$R\sin\alpha=a$ なら左辺は恒等的に 0 になるので、$mg\tan\alpha$ も 0 でない限りこの方程式は $k$ について解を持たず、0 であれば逆にどの $k$ でも成り立つ。

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   具体的な数値で変形を確かめる。 $R=2$、$a=0.5$、$\alpha=30^\circ$、$m=1$、$g=9.8$ とする。この公式は $k=\frac{9.8\times 0.577350269}{4\pi^{2}(2\times 0.5-0.5)}=0.286639282.$ を与える。もとの左辺に代入し直すと $2\pi(2)(0.286639282)(0.5)-2\pi(0.5)(0.286639282)=0.900503863$ となり、右辺は $\dfrac{9.8\times 0.577350269}{2\pi}=0.900503863$ である。両者は一致し、式変形が正しいことを裏づける。