任意の集合 A, B, C について、complement[(A − B) ∪ (B − A)] − [(A ∩ B) − complement(C)] が [(A ∩ B) − C] ∪ complement(A ∪ B) に等しいかどうかを判定せよ。正しければ証明し、正しくなければ反例を挙げよ。

Step-by-step solution

1. 1

   すべての差を、補集合との共通部分に書き直す。 $X-Y=X\cap\overline{Y}$ というただ 1 つの規則で、主張全体が機械的に扱えるようになる：

   $A-B=A\cap\overline{B},\qquad B-A=B\cap\overline{A}$

   したがって $(A-B)\cup(B-A)$ は対称差 $A\triangle B$ ——$A$、$B$ のちょうど一方だけに属する要素の集合——である。

2. 2

   対称差の補集合をとる。 ある要素が「$A,B$ のちょうど一方だけに属する」に当てはまらないのは、両方に属するかどちらにも属さないとき、そのときに限る：

   $\overline{A\triangle B}=(A\cap B)\cup\overline{(A\cup B)}$

   これが証明の構造上の核心であり、目標の等式の右辺に並ぶ 2 つの部分がすでにここに見えている。

3. 3

   取り除かれる集合を簡単にする。 $\overline{\overline{C}}=C$ を使うと、

   $(A\cap B)-\overline{C}=(A\cap B)\cap\overline{\overline{C}}=A\cap B\cap C$

   となる。したがって左辺は

   $\Big[(A\cap B)\cup\overline{(A\cup B)}\Big]-\big(A\cap B\cap C\big)$

   である。

4. 4

   除去を和集合に分配する。 集合の差は和集合に分配できて $(X\cup Y)-Z=(X-Z)\cup(Y-Z)$ なので、

   $\big[(A\cap B)-(A\cap B\cap C)\big]\cup\big[\overline{(A\cup B)}-(A\cap B\cap C)\big]$

   が得られる。

5. 5

   それぞれの部分を簡単にする。 前半では、$A\cap B$ から $A\cap B\cap C$ を取り除くと、ちょうど $C$ の内側の部分だけが取り除かれる：

   $(A\cap B)-(A\cap B\cap C)=(A\cap B)-C$

   後半では、$\overline{(A\cup B)}$ は $A\cap B$ と（したがって $A\cap B\cap C$ とも）互いに素なので、その集合を取り除いても何も変わらない：

   $\overline{(A\cup B)}-(A\cap B\cap C)=\overline{(A\cup B)}$

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   結論を述べる。 2 つの部分を戻して合わせると、

   $\text{左辺}=\big[(A\cap B)-C\big]\cup\overline{(A\cup B)}=\text{右辺}$

   $\boxed{\text{この等式が成り立つのは任意の集合 }A,B,C}$

   追加の仮定は一度も必要にならなかったことに注意する。この等式は無条件に成り立つ。

7. 7

   所属を尽くして検証する。 各要素は $A$、$B$、$C$ に属するか否かによって $8$ 個の領域のいずれかに入る。8 通りすべてを試す：$A\cap B$ に属する要素が両辺に属するのは $C$ の外にあるとき、かつそのときに限る。$A\cup B$ の外にある要素はつねに両辺に属する。$A,B$ のちょうど一方だけに属する要素はどちらの辺にも属さない（左辺では補集合をとった対称差によって除かれ、右辺ではどちらの部分にも入らない）。8 通りすべてが一致し、代数的な計算が裏づけられる。