媒介変数表示 vs 陰関数

媒介変数表示 と 陰関数 は、単純な「$x$ の関数としての $y$」の形に収まらない曲線を記述する 2 つの方法です。

媒介変数表示

媒介変数 形式では、$x$ と $y$ の両方を第三の変数 $t$（媒介変数、しばしば時間）の関数として表します:

$x = f(t), \quad y = g(t)$

例: 半径 1 の円: $t \in [0, 2\pi]$ に対して $x = \cos t$、$y = \sin t$。

長所: 運動を自然に記述でき（各 $t$ が 1 つの位置を与える）、ループや自己交差も簡単に扱えます。

陰関数

陰関数 形式では単一の方程式を用います:

$F(x, y) = 0$

同じ円: $x^2 + y^2 - 1 = 0$。

長所: 一意な代数方程式であり、ある点が曲線上にあるかどうかを簡単に判定できます（代入して確認するだけ）。

どちらをいつ使うか

状況	最適な形式
運動 / 軌道	媒介変数表示
陰関数微分が必要	陰関数
曲線に自己交差がある	媒介変数表示
代数的 / 記号的操作	陰関数
$t$ 値による作図	媒介変数表示

解いた例: 導関数

円 $x^2 + y^2 = 1$ について:

• 陰関数微分: $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$ なので $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$。
• 媒介変数表示（$x = \cos t$、$y = \sin t$）: $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{\cos t}{-\sin t} = -\frac{\cos t}{\sin t} = -\frac{x}{y}$。✓

どちらも同じ答えを与えますが、手順が異なります。

変換

媒介変数を消去して（媒介変数表示 → 陰関数）、あるいは媒介変数化して（陰関数 → 媒介変数表示）、形式間で変換できることがあります。常にきれいにできるとは限りません。