角柱と直方体

立方体

$V = s^3$

一辺の三乗。一辺 $s$ の立方体は単位立方体 $s^3$ 個で充填できる——単位正方形論証の 3D 版。

直方体

$V = l \cdot w \cdot h$

縦 × 横 × 高さ。底面積 $l w$ を $h$ 段重ねると $lwh$ 。

一般の角柱

$V = A_{\text{base}} \cdot h$

底面積 × 高さ。カヴァリエリの原理により断面と高さが同じ角柱は体積が等しい——三角柱・六角柱・斜角柱すべてこの 1 本でカバー。

錐体と錐台

角錐（一般）

$V = \tfrac{1}{3} A_{\text{base}} \cdot h$

同底同高の角柱の 1/3。 $A_{\text{base}}\bigl(\tfrac{z}{h}\bigr)^2$ を $0$ から $h$ まで積分すると 1/3 が出る——断面は高さに比例して縮小。

円錐

$V = \tfrac{1}{3} \pi r^2 h$

角錐と同じ「1/3」ルール、底面が $\pi r^2$ の円。等底等高の円錐 3 個でちょうど円柱 1 個分。

円錐台

$V = \tfrac{\pi h}{3}\bigl(R^2 + R r + r^2\bigr)$

半径 $R$ （下）と $r$ （上）の平行な 2 円、高さ $h$ 。大円錐から小円錐を引いて導出。 $Rr$ 項は立方差の展開から。

円柱

$V = \pi r^2 h$

一般の角柱の特殊な場合：円形底面 $\pi r^2$ を高さ $h$ まで重ねたもの。カヴァリエリの原理で斜円柱も同じ公式。

中空円柱（管）

$V = \pi (R^2 - r^2) h$

外側の円柱から内側の円柱を引く——円環の引き算を 3 次元へ拡張。

球と楕円体

球

$V = \tfrac{4}{3}\pi r^3$

有名な $\tfrac{4}{3}\pi r^3$ 。アルキメデスの結果：球の体積は外接最小円柱の $\tfrac{2}{3}$ にちょうど等しい。

半球

$V = \tfrac{2}{3}\pi r^3$

球の半分 — ちょうど $\tfrac{4}{3}\pi r^3$ の半分。ドーム・椀・積分計算によく使う。

楕円体

$V = \tfrac{4}{3}\pi a b c$

半軸 $a, b, c$ 。 $a = b = c = r$ なら球 $\tfrac{4}{3}\pi r^3$ に帰着——球は楕円体の特別な場合。

トーラス（ドーナツ）

$V = 2\pi^2 R r^2$

主半径 $R$ （中心から管心まで）、副半径 $r$ （管）。パップスの定理：面積 $\pi r^2$ を周長 $2\pi R$ の円周に沿って 1 周掃く。

体積 Formulas