固有値と固有ベクトル：初心者にやさしい入門

固有値と固有ベクトルは初めて見ると不可解に思えますが、その根底にある考え方は直感的です：行列がベクトルを変換するとき、ほとんどのベクトルは回転され、引き伸ばされます。**固有ベクトルとは、回転されることなく引き伸ばされるだけの特別な方向です。**その引き伸ばしの倍率が固有値です。

定義

$n \times n$ 行列 $A$ が与えられたとき、ゼロでないベクトル $\mathbf{v}$ が次を満たすとき、それは固有値 $\lambda$ をもつ固有ベクトルです：

$A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$

幾何的には：$A$ が $\mathbf{v}$ に作用すると $\lambda$ 倍の $\mathbf{v}$ が得られます——同じ方向で、ただ拡大縮小されるだけです。

求め方——特性多項式

整理すると $(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$ が得られます。自明でない $\mathbf{v}$ が存在するためには、行列 $A - \lambda I$ が特異でなければなりません。すなわち：

$\det(A - \lambda I) = 0$

これは $\lambda$ についての多項式に展開され、これを次数 $n$ の特性多項式と呼びます。その根が固有値です。

$2 \times 2$ の例題

$A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$

1. $A - \lambda I = \begin{pmatrix} 4 - \lambda & 1 \\ 2 & 3 - \lambda \end{pmatrix}$。
2. $\det = (4-\lambda)(3-\lambda) - 2 = \lambda^2 - 7\lambda + 10$。
3. $\lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0$ を解くと：$\lambda = 5$ または $\lambda = 2$。

$\lambda = 5$ のとき：$(A - 5I)\mathbf{v} = 0$、すなわち $\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}\mathbf{v} = 0$ を解くと、固有ベクトル $\mathbf{v}_1 = (1, 1)$ が得られます。

$\lambda = 2$ のとき：同様の手順で $\mathbf{v}_2 = (1, -2)$ が得られます。

なぜ固有ベクトルが重要なのか

• 主成分分析（PCA）：共分散行列の固有ベクトルは、データの変動の主方向です。
• Google の PageRank：ランクベクトルは、ウェブのリンク行列の支配的な固有ベクトルです。
• 量子力学：観測量は演算子であり、その固有値は測定できる唯一の結果です。
• 微分方程式：システム行列の固有値は、解が減衰するか発散するかを教えてくれます。

幾何的意味のまとめ

2 次元の行列では、固有ベクトルは特別な軸です。座標系をそれに揃えると、$A$ は対角になります——回転なしで、各軸に沿った純粋な拡大縮小だけになります。それが対角化であり、数十のアルゴリズムの基礎となっています。

よくある間違い

• 固有ベクトルがスカラー倍を除いて定義されることを忘れること——固有ベクトルのゼロでない任意の倍数もまた固有ベクトルです。
• 特性方程式を飛ばして当てずっぽうで求めようとすること。
• $\det(A - \lambda I)$ を $\det(A) - \lambda$ として扱うこと——そうではありません。

AI 行列ソルバーで試す

行列計算機に行列を入力して固有値を求めてみましょう——すべてのステップが表示されます。

関連リンク：

• 行列式計算機 — 特性多項式に必要
• 二次方程式ソルバー — $2\times 2$ の特性方程式の場合に
• ベクトル計算機 — 固有ベクトルは本質的にベクトル