Calcolatrice del teorema di Pitagora

Il teorema di Pitagora è una relazione fondamentale nella geometria euclidea tra i tre lati di un triangolo rettangolo. Afferma che il quadrato dell'ipotenusa (il lato opposto all'angolo retto) è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati (i cateti).

$a^2 + b^2 = c^2$

dove:

• $a$ e $b$ sono le lunghezze dei due cateti
• $c$ è la lunghezza dell'ipotenusa (il lato più lungo)

Risolvere per ciascun lato

• Ipotenusa: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$
• Cateto $a$: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$
• Cateto $b$: $b = \sqrt{c^2 - a^2}$

Nota storica

Prende il nome dall'antico matematico greco Pitagora (c. 570–495 a.C.), ma questo teorema era noto ai matematici babilonesi più di mille anni prima. È uno dei teoremi più dimostrati della matematica, con centinaia di dimostrazioni distinte.

Terne pitagoriche

Una terna pitagorica è formata da tre interi positivi $a$, $b$, $c$ che soddisfano $a^2 + b^2 = c^2$. Esempi comuni:

• $(3, 4, 5)$
• $(5, 12, 13)$
• $(8, 15, 17)$
• $(7, 24, 25)$

Procedura passo per passo

1. Identifica l'angolo retto ed etichetta i lati: $a$, $b$ (cateti) e $c$ (ipotenusa)
2. Determina quale lato è incognito
3. Sostituisci i valori noti in $a^2 + b^2 = c^2$
4. Risolvi per il lato incognito
5. Semplifica il risultato (forma esatta o decimale)

Trovare l'ipotenusa

Dati i cateti $a$ e $b$:

$c = \sqrt{a^2 + b^2}$

Esempio: se $a = 6$ e $b = 8$, allora $c = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.

Trovare un cateto

Date l'ipotenusa $c$ e un cateto $a$:

$b = \sqrt{c^2 - a^2}$

Esempio: se $c = 13$ e $a = 5$, allora $b = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$.

Verificare se un triangolo è rettangolo

Dati tre lati, verifica se $a^2 + b^2 = c^2$ (dove $c$ è il lato più lungo):

• Se $a^2 + b^2 = c^2$: triangolo rettangolo
• Se $a^2 + b^2 > c^2$: triangolo acutangolo
• Se $a^2 + b^2 < c^2$: triangolo ottusangolo

Collegamento con la formula della distanza

La distanza tra due punti $(x_1, y_1)$ e $(x_2, y_2)$ deriva dal teorema di Pitagora:

$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$

Formule comuni

• Confondere l'ipotenusa con un cateto — l'ipotenusa è sempre il lato più lungo opposto all'angolo retto. Usarla come cateto nella formula dà risultati errati.
• Dimenticare di estrarre la radice quadrata — dopo aver calcolato $a^2 + b^2$, devi estrarre $\sqrt{a^2 + b^2}$ per ottenere $c$, non lasciarlo come $a^2 + b^2$.
• Sottrarre nella direzione sbagliata — quando trovi un cateto, calcola $c^2 - a^2$, non $a^2 - c^2$ (che darebbe un numero negativo sotto il radicale).
• Applicare il teorema a triangoli non rettangoli — il teorema di Pitagora funziona solo per i triangoli rettangoli. Per altri triangoli, usa il teorema del coseno.
• Arrotondare troppo presto — mantieni il valore esatto sotto la radice quadrata il più a lungo possibile per conservare l'accuratezza.