Calcolatrice della formula del punto medio

La formula del punto medio trova il punto esattamente a metà strada tra due punti dati. È semplicemente la media delle coordinate:

Forma 2D — per i punti $(x_1, y_1)$ e $(x_2, y_2)$:

$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$

Forma 3D — per i punti $(x_1, y_1, z_1)$ e $(x_2, y_2, z_2)$:

$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2}\right)$

Perché la media funziona: il punto medio divide il segmento in rapporto $1:1$, e le coordinate di qualsiasi punto del segmento sono medie pesate degli estremi. Con pesi uguali ($1/2$ ciascuno), si ottiene la semplice media aritmetica.

La formula del punto medio compare di continuo nella geometria analitica: trovare il centro di un cerchio dal suo diametro, il baricentro di un triangolo, parallelogrammi, assi di simmetria e qualsiasi problema che coinvolga 'a metà strada tra'.

Passo per passo

1. Identifica i due punti $(x_1, y_1)$ e $(x_2, y_2)$.
2. Fai la media delle coordinate x: $\frac{x_1 + x_2}{2}$.
3. Fai la media delle coordinate y: $\frac{y_1 + y_2}{2}$.
4. Combina nel punto medio $(M_x, M_y)$.

Niente sottrazioni, niente quadrati, niente radici — molto più semplice della formula della distanza.

Problema inverso: trovare un estremo dal punto medio

Se $M = (M_x, M_y)$ è il punto medio di $(x_1, y_1)$ e $(x_2, y_2)$, puoi ricavare uno dei due estremi:

$x_2 = 2 M_x - x_1, \quad y_2 = 2 M_y - y_1$

Raddoppia il punto medio, sottrai l'estremo noto.

Generalizzazione: formula della sezione

Per un punto che divide un segmento in rapporto $m : n$ (non solo $1:1$):

$P = \left(\frac{m x_2 + n x_1}{m + n}, \frac{m y_2 + n y_1}{m + n}\right)$

La formula del punto medio è il caso particolare $m = n = 1$.

Applicazioni geometriche

• Centro di un cerchio dagli estremi del diametro: semplicemente il punto medio.
• Baricentro di un triangolo: media di tutte e tre le coordinate dei vertici (generalizza il punto medio a 3 punti).
• Asse di simmetria: una retta passante per il punto medio perpendicolare al segmento originale.
• Diagonali di un parallelogramma: i punti medi di entrambe le diagonali coincidono — utile per dimostrare che un quadrilatero è un parallelogramma.

• Sottrarre invece di sommare: il punto medio è una media — $\frac{x_1 + x_2}{2}$, non $\frac{x_2 - x_1}{2}$. La sottrazione appartiene alla formula della distanza.
• Dimenticare di dividere ogni coordinata: il divisore 2 si applica separatamente alla somma delle x e alla somma delle y. Non è una singola divisione alla fine.
• Errori di segno con coordinate negative: $\frac{-3 + 7}{2} = 2$, non $-2$ o $5$. Somma con attenzione.
• Confondere le formule del punto medio e della pendenza: il punto medio fa la media, la pendenza sottrae. Sembrano simili ma rispondono a domande diverse.
• Dimenticare di adattare per il 3D: se il problema è in 3D, includi la media delle z. Se in 2D, non aggiungere una z fantasma.