Calcolatrice della formula della distanza

La formula della distanza calcola la distanza in linea retta tra due punti nello spazio cartesiano. È una conseguenza diretta del teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo formato dalla separazione orizzontale e verticale tra i punti.

Forma 2D — per i punti $P_1 = (x_1, y_1)$ e $P_2 = (x_2, y_2)$:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Forma 3D — per i punti $(x_1, y_1, z_1)$ e $(x_2, y_2, z_2)$:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

Forma $n$-dimensionale (distanza euclidea):

$d = \sqrt{\sum_{i=1}^n (b_i - a_i)^2}$

Questa si generalizza naturalmente a un numero qualsiasi di dimensioni, motivo per cui è la nozione di 'distanza' di riferimento in fisica, statistica e machine learning.

Passo per passo

1. Etichetta i punti $(x_1, y_1)$ e $(x_2, y_2)$. Qualsiasi assegnazione funziona — la formula è simmetrica.
2. Calcola le differenze: $\Delta x = x_2 - x_1$, $\Delta y = y_2 - y_1$.
3. Elevale al quadrato: $(\Delta x)^2$ e $(\Delta y)^2$.
4. Somma: $(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2$.
5. Estrai la radice quadrata: $d = \sqrt{\text{somma}}$.
6. Semplifica il radicale se possibile (ad es. $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$).

Derivazione geometrica

Traccia un segmento orizzontale da $(x_1, y_1)$ a $(x_2, y_1)$ — lunghezza $|x_2 - x_1|$.
Traccia un segmento verticale da $(x_2, y_1)$ a $(x_2, y_2)$ — lunghezza $|y_2 - y_1|$.
Il segmento originale è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo con questi due cateti, quindi per il teorema di Pitagora:

$d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$

Estraendo le radici quadrate si ottiene la formula della distanza. I valori assoluti non servono perché l'elevamento al quadrato elimina il segno.

Formule correlate

• Punto medio: $M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$ — la media delle coordinate.
• Pendenza: $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ — usa le stesse differenze della formula della distanza.
• Distanza di un punto dall'origine: $d = \sqrt{x^2 + y^2}$ (caso particolare con $(x_1, y_1) = (0, 0)$).

Distanza di Manhattan / taxicab (per confronto)

Nota che la formula sopra è la distanza euclidea. La distanza di Manhattan $|x_2 - x_1| + |y_2 - y_1|$ misura lo spostamento su una griglia (niente diagonali). Sono metriche diverse — assicurati di sapere quale richiede il tuo problema.

• Dimenticare di elevare al quadrato: $d \ne (x_2 - x_1) + (y_2 - y_1)$. I quadrati (e la radice quadrata) sono essenziali.
• Errori di segno: $(x_2 - x_1)^2 = (x_1 - x_2)^2$, quindi l'ordine della sottrazione non conta — ma solo grazie al quadrato. Non eliminare il quadrato perché 'vedi' la differenza.
• Dimenticare di estrarre la radice quadrata: $(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$ è $d^2$, non $d$. Molti studenti si fermano un passo troppo presto.
• Non semplificare il radicale: $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$. Lasciare $\sqrt{8}$ è tecnicamente corretto ma di solito penalizzato nei compiti.
• Mescolare 2D e 3D: se il problema è in 3D, includi il termine $(z_2 - z_1)^2$. Se in 2D, non inventare un termine $z$.