Calcolatrice di derivate parziali

Una derivata parziale misura come una funzione a più variabili cambia rispetto a una variabile mantenendo fisse le altre. Per $f(x, y)$:

$\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h}$

La notazione $\partial$ (d arrotondata) distingue le derivate parziali dalle derivate ordinarie $\frac{d}{dx}$. Notazioni equivalenti includono $f_x$, $\partial_x f$, $D_x f$.

Significato geometrico: $\frac{\partial f}{\partial x}(a, b)$ è la pendenza della superficie $z = f(x,y)$ in $(a,b)$ nella direzione $x$ — la retta tangente giace nel piano $y = b$.

Perché è importante: la discesa del gradiente, l'ottimizzazione, la propagazione degli errori e gran parte del calcolo vettoriale si basano sulle derivate parziali. Il gradiente $\nabla f = (f_x, f_y, f_z)$ punta nella direzione di massima crescita.

Regola 1: Tratta le altre variabili come costanti

Per trovare $\frac{\partial f}{\partial x}$, tratta $y, z, \ldots$ come costanti e deriva $f$ come una funzione di una sola variabile $x$.

Esempio: $f(x, y) = x^2 y + 3y$

• $\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy$ (il $3y$ si annulla poiché non ha $x$)
• $\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 3$ ($x^2$ agisce come coefficiente)

Regola 2: La regola della catena e quella del prodotto continuano a valere

Per $f(x, y) = \sin(xy)$:

$\frac{\partial f}{\partial x} = \cos(xy) \cdot y$

La $y$ all'interno della parentesi è trattata come coefficiente costante quando si deriva $xy$ rispetto a $x$.

Derivate parziali di ordine superiore

$f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \quad f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$

Teorema di Schwarz (derivate miste): se $f$ ha derivate seconde continue, allora $f_{xy} = f_{yx}$. L'ordine di derivazione non conta.

Gradiente e derivata direzionale

Il gradiente è il vettore di tutte le derivate parziali prime:

$\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)$

La derivata direzionale nella direzione $\mathbf{u}$ (versore) è:

$D_\mathbf{u} f = \nabla f \cdot \mathbf{u}$

Massimizzata quando $\mathbf{u}$ punta lungo $\nabla f$ — questa è la direzione di massima crescita.

Regola della catena (più variabili)

Se $z = f(x, y)$ e $x = x(t), y = y(t)$:

$\frac{dz}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}$

• Derivare la variabile sbagliata: identifica sempre quale variabile è 'attiva' e quali sono tenute costanti. Sottolineare la variabile attiva nei calcoli aiuta.
• Dimenticare la regola della catena: $\frac{\partial}{\partial x}\sin(xy) = y\cos(xy)$, non solo $\cos(xy)$.
• Confondere la notazione: $f_{xy}$ significa derivare prima rispetto a $x$, poi $y$ (alcuni libri invertono — controlla la convenzione).
• Direzione errata del gradiente: $\nabla f$ punta nella direzione di massima crescita, non del moto. Per minimizzare, muoviti in direzione opposta a $\nabla f$.
• Confondere derivate parziali e totali: quando $x$ e $y$ dipendono entrambi da $t$, usa la regola della catena — non $\partial f/\partial t$, che è zero se $f$ non ha $t$ esplicito.