Calcolatrice della trasformata di Laplace

La trasformata di Laplace converte una funzione del tempo $f(t)$ in una funzione di frequenza complessa $F(s)$:

$F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^\infty e^{-st} f(t)\,dt$

La trasformata è definita per $s$ in un certo semipiano destro $\operatorname{Re}(s) > \sigma$ dove l'integrale converge.

Perché è utile: Laplace converte la derivazione in una moltiplicazione per $s$, trasformando le EDO lineari a coefficienti costanti in equazioni algebriche in $s$. Risolvi l'algebra, poi applichi la trasformata di Laplace inversa per ottenere la risposta nel dominio del tempo.

Le trasformate di Laplace gestiscono inoltre con eleganza ingressi discontinui e impulsivi (funzioni gradino, delta di Dirac), il che le rende indispensabili nella teoria del controllo, nell'elaborazione dei segnali e nell'ingegneria elettrica.

Coppie di trasformate di base

Memorizza la tabella fondamentale:

Proprietà fondamentali

Linearità:

$\mathcal{L}\{a f(t) + b g(t)\} = a F(s) + b G(s)$

Prima traslazione (traslazione in s):

$\mathcal{L}\{e^{at} f(t)\} = F(s - a)$

È così che $e^{at}\sin(\omega t) \to \frac{\omega}{(s-a)^2 + \omega^2}$.

Derivazione nel dominio $t$:

$\mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0)$

$\mathcal{L}\{f''(t)\} = s^2 F(s) - s f(0) - f'(0)$

È questo che converte le EDO in algebra: le derivate diventano polinomi in $s$ moltiplicati per $F(s)$, con le condizioni iniziali incorporate.

Moltiplicazione per $t$:

$\mathcal{L}\{t f(t)\} = -F'(s)$

Trasformata di Laplace inversa

Data $F(s)$, trova $f(t)$ tale che $\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s)$. Tecniche standard:

1. Fratti semplici: decomponi $F(s)$ in semplici parti razionali che corrispondono alla tabella.
2. Completamento del quadrato: per forme $\frac{1}{s^2 + bs + c}$, riscrivi come $\frac{1}{(s - a)^2 + \omega^2}$ per corrispondere alla voce del seno traslato nella tabella.
3. Cerca e combina usando la linearità.

Risoluzione di EDO con Laplace

Per $y'' + 3y' + 2y = e^{-t}$, $y(0) = 0, y'(0) = 1$:

1. Applica Laplace: $s^2 Y - s \cdot 0 - 1 + 3(sY - 0) + 2Y = \frac{1}{s+1}$
2. Risolvi per $Y$: $Y(s^2 + 3s + 2) = 1 + \frac{1}{s+1}$, quindi $Y = \frac{s + 2}{(s+1)(s^2+3s+2)} = \frac{1}{(s+1)^2}$ (dopo semplificazione).
3. Inverti: $y(t) = t e^{-t}$.

Pulito e meccanico — lo stesso problema con la variazione delle costanti richiede il doppio del lavoro.

• Dimenticare le condizioni iniziali: $\mathcal{L}\{f'\} = sF(s) - f(0)$. Tralasciare $f(0)$ è l'errore singolo più comune.
• Segno errato nella traslazione in s: $\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\} = F(s - a)$, non $F(s + a)$. Il segno conta.
• Gestire male le discontinuità: per ingressi a gradino, usa la funzione gradino unitario $u(t-a)$ e il teorema di traslazione temporale $\mathcal{L}\{u(t-a)f(t-a)\} = e^{-as}F(s)$.
• Trasformata inversa senza fratti semplici: $\frac{1}{(s-1)(s+2)}$ non si inverte direttamente — decomponi prima.
• Confondere $F(s)$ con $\mathcal{L}^{-1}\{F\}$: $F(s)$ è la trasformata, $f(t)$ è l'originale. Termina sempre i problemi di EDO tornando al dominio del tempo.