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Calcolatrice di integrali impropri

Calcola integrali impropri con estremi infiniti o integrandi non limitati usando soluzioni passo passo dell'AI

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integral from 0 to infinity of e^(-x) dx
integral from 1 to infinity of 1/x^2 dx
integral from 0 to 1 of 1/sqrt(x) dx
integral from -infinity to infinity of 1/(1+x^2) dx

Che cos'è un integrale improprio?

Un integrale improprio è un integrale definito in cui:

  1. L'intervallo è infinito: ad es. ∫1∞f(x) dx\int_1^\infty f(x)\,dx o ∫−∞∞f(x) dx\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx
  2. L'integrando ha un asintoto verticale all'interno o a un estremo dell'intervallo: ad es. ∫011x dx\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx

In entrambi i casi, l'integrale di Riemann standard non è definito, ma a volte possiamo assegnare un valore finito usando i limiti.

Se il limite esiste ed è finito, l'integrale improprio converge. Se il limite è infinito o non esiste, l'integrale diverge.

Gli integrali impropri sono centrali nella probabilità (costanti di normalizzazione), nelle trasformate di Laplace e di Fourier e nei criteri di convergenza delle serie.

Come calcolare gli integrali impropri

Tipo 1: Intervallo infinito

Sostituisci l'infinito con un limite:

∫a∞f(x) dx=lim⁡t→∞∫atf(x) dx\int_a^\infty f(x)\,dx = \lim_{t \to \infty} \int_a^t f(x)\,dx

∫−∞bf(x) dx=lim⁡t→−∞∫tbf(x) dx\int_{-\infty}^b f(x)\,dx = \lim_{t \to -\infty} \int_t^b f(x)\,dx

Se entrambi gli estremi sono infiniti, spezza in qualsiasi punto comodo cc:

∫−∞∞f(x) dx=∫−∞cf(x) dx+∫c∞f(x) dx\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx = \int_{-\infty}^c f(x)\,dx + \int_c^\infty f(x)\,dx

Entrambe le parti devono convergere indipendentemente — altrimenti l'intero integrale diverge.

Tipo 2: Integrando non limitato

Se ff è non limitata in x=cx = c all'interno di [a,b][a, b], spezza e prendi i limiti:

∫abf(x) dx=lim⁡t→c−∫atf(x) dx+lim⁡s→c+∫sbf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{t \to c^-}\int_a^t f(x)\,dx + \lim_{s \to c^+}\int_s^b f(x)\,dx

Se la singolarità è in x=ax = a:

∫abf(x) dx=lim⁡t→a+∫tbf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{t \to a^+} \int_t^b f(x)\,dx

Il criterio del pp

∫1∞1xp dxconverge se p>1, diverge se p≤1\int_1^\infty \frac{1}{x^p}\,dx \quad \text{converge se } p > 1, \text{ diverge se } p \leq 1

∫011xp dxconverge se p<1, diverge se p≥1\int_0^1 \frac{1}{x^p}\,dx \quad \text{converge se } p < 1, \text{ diverge se } p \geq 1

L'esponente critico è p=1p = 1. Nota le regole di convergenza opposte per i due casi.

Criterio del confronto

Se 0≤f(x)≤g(x)0 \leq f(x) \leq g(x) sull'intervallo:

  • ∫g\int g converge ⇒∫f\Rightarrow \int f converge
  • ∫f\int f diverge ⇒∫g\Rightarrow \int g diverge

Utile quando l'integrale stesso è difficile ma la maggiorazione è facile.

Errori comuni da evitare

  • Trattare ∞\infty come un numero: non puoi 'sostituire' ∞\infty. Devi usare un limite.
  • Trascurare le singolarità interne: ∫−111x dx\int_{-1}^1 \frac{1}{x}\,dx ha una singolarità in 00 all'interno dell'intervallo. Calcolarlo ingenuamente dà 00 (sbagliato) — l'integrale in realtà diverge.
  • Sommare integrali impropri a tratti che si 'cancellano': ∫−∞∞x dx\int_{-\infty}^\infty x\,dx — entrambe le metà divergono, quindi l'integrale diverge. Il 'valore principale' è una nozione diversa (più debole).
  • Direzione errata del criterio del pp: a ∞\infty, 1/xp1/x^p converge per p>1p > 1. A 00, converge per p<1p < 1. Sono opposti — memorizza entrambi.
  • Dimenticare di verificare la convergenza prima di integrare: un integrale improprio divergente non ha un valore. Verifica sempre prima la convergenza.

Examples

Step 1: Sostituisci l'estremo con un limite: lim⁡t→∞∫0te−x dx\lim_{t \to \infty} \int_0^t e^{-x}\,dx
Step 2: Calcola la primitiva: ∫e−x dx=−e−x+C\int e^{-x}\,dx = -e^{-x} + C
Step 3: Applica gli estremi: lim⁡t→∞[−e−x]0t=lim⁡t→∞(−e−t+1)\lim_{t \to \infty} \left[-e^{-x}\right]_0^t = \lim_{t \to \infty}(-e^{-t} + 1)
Step 4: Per t→∞t \to \infty, e−t→0e^{-t} \to 0, quindi il limite è uguale a 11
Answer: 11 (converge)

Step 1: Applica il criterio del pp con p=1p = 1: ∫1∞1/xp dx\int_1^\infty 1/x^p\,dx converge se e solo se p>1p > 1
Step 2: Qui p=1p = 1, quindi l'integrale diverge
Step 3: Verifica con il limite: lim⁡t→∞[ln⁡x]1t=lim⁡t→∞ln⁡t=∞\lim_{t \to \infty} [\ln x]_1^t = \lim_{t \to \infty} \ln t = \infty
Answer: Diverge

Step 1: Singolarità in x=0x = 0. Usa il criterio del pp a 00: 1/xp1/x^p converge se e solo se p<1p < 1
Step 2: Qui p=1/2<1p = 1/2 < 1, quindi converge
Step 3: Calcola: lim⁡t→0+∫t1x−1/2 dx=lim⁡t→0+[2x]t1\lim_{t \to 0^+} \int_t^1 x^{-1/2}\,dx = \lim_{t \to 0^+} [2\sqrt{x}]_t^1
Step 4: =lim⁡t→0+(2−2t)=2= \lim_{t \to 0^+} (2 - 2\sqrt{t}) = 2
Answer: 22 (converge)

Frequently Asked Questions

Un integrale improprio converge se il limite che lo definisce è finito. Altrimenti diverge, il che significa che l'area sotto la curva è infinita o non definita.

Il criterio del p si applica a integrali della forma ∫1/x^p su [1, ∞) o (0, 1]. È più utile come confronto: se il tuo integrando si comporta asintoticamente come 1/x^p, puoi determinare rapidamente la convergenza.

Un integrale improprio converge assolutamente se ∫|f| converge. Converge condizionatamente se ∫f converge ma ∫|f| diverge. La convergenza assoluta è strettamente più forte.

Sì — l'area può essere infinita. ∫_1^∞ 1/x dx è l'esempio canonico: la curva y = 1/x è ovunque positiva su [1, ∞), eppure l'area sottostante è infinita (diverge).

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