Calcolatrice di integrali impropri

Un integrale improprio è un integrale definito in cui:

1. L'intervallo è infinito: ad es. $\int_1^\infty f(x)\,dx$ o $\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx$
2. L'integrando ha un asintoto verticale all'interno o a un estremo dell'intervallo: ad es. $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$

In entrambi i casi, l'integrale di Riemann standard non è definito, ma a volte possiamo assegnare un valore finito usando i limiti.

Se il limite esiste ed è finito, l'integrale improprio converge. Se il limite è infinito o non esiste, l'integrale diverge.

Gli integrali impropri sono centrali nella probabilità (costanti di normalizzazione), nelle trasformate di Laplace e di Fourier e nei criteri di convergenza delle serie.

Tipo 1: Intervallo infinito

Sostituisci l'infinito con un limite:

$\int_a^\infty f(x)\,dx = \lim_{t \to \infty} \int_a^t f(x)\,dx$

$\int_{-\infty}^b f(x)\,dx = \lim_{t \to -\infty} \int_t^b f(x)\,dx$

Se entrambi gli estremi sono infiniti, spezza in qualsiasi punto comodo $c$:

$\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx = \int_{-\infty}^c f(x)\,dx + \int_c^\infty f(x)\,dx$

Entrambe le parti devono convergere indipendentemente — altrimenti l'intero integrale diverge.

Tipo 2: Integrando non limitato

Se $f$ è non limitata in $x = c$ all'interno di $[a, b]$, spezza e prendi i limiti:

$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{t \to c^-}\int_a^t f(x)\,dx + \lim_{s \to c^+}\int_s^b f(x)\,dx$

Se la singolarità è in $x = a$:

$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{t \to a^+} \int_t^b f(x)\,dx$

Il criterio del $p$

$\int_1^\infty \frac{1}{x^p}\,dx \quad \text{converge se } p > 1, \text{ diverge se } p \leq 1$

$\int_0^1 \frac{1}{x^p}\,dx \quad \text{converge se } p < 1, \text{ diverge se } p \geq 1$

L'esponente critico è $p = 1$. Nota le regole di convergenza opposte per i due casi.

Criterio del confronto

Se $0 \leq f(x) \leq g(x)$ sull'intervallo:

• $\int g$ converge $\Rightarrow \int f$ converge
• $\int f$ diverge $\Rightarrow \int g$ diverge

Utile quando l'integrale stesso è difficile ma la maggiorazione è facile.

• Trattare $\infty$ come un numero: non puoi 'sostituire' $\infty$. Devi usare un limite.
• Trascurare le singolarità interne: $\int_{-1}^1 \frac{1}{x}\,dx$ ha una singolarità in $0$ all'interno dell'intervallo. Calcolarlo ingenuamente dà $0$ (sbagliato) — l'integrale in realtà diverge.
• Sommare integrali impropri a tratti che si 'cancellano': $\int_{-\infty}^\infty x\,dx$ — entrambe le metà divergono, quindi l'integrale diverge. Il 'valore principale' è una nozione diversa (più debole).
• Direzione errata del criterio del $p$: a $\infty$, $1/x^p$ converge per $p > 1$. A $0$, converge per $p < 1$. Sono opposti — memorizza entrambi.
• Dimenticare di verificare la convergenza prima di integrare: un integrale improprio divergente non ha un valore. Verifica sempre prima la convergenza.