Calcolatrice di integrali doppi

Un integrale doppio calcola l'accumulazione di una funzione $f(x, y)$ su una regione bidimensionale $D$:

$\iint_D f(x,y)\,dA$

dove $dA$ è l'elemento infinitesimo di area. In coordinate cartesiane $dA = dx\,dy$; in coordinate polari $dA = r\,dr\,d\theta$.

Significati fisici comuni:

• $f(x,y) = 1$ dà l'area di $D$.
• $f(x,y) = h(x,y)$ (funzione altezza) dà il volume sotto la superficie $z = h(x,y)$ sopra $D$.
• $f = \rho(x,y)$ (densità superficiale) dà la massa di una lamina sottile.

Le abilità chiave sono: scegliere le coordinate, impostare gli estremi e calcolare come integrali iterati semplici usando il teorema di Fubini.

Teorema di Fubini

Per una $f$ continua su un rettangolo $D = [a, b] \times [c, d]$:

$\iint_D f\,dA = \int_a^b \int_c^d f(x,y)\,dy\,dx = \int_c^d \int_a^b f(x,y)\,dx\,dy$

Funziona qualunque ordine, quindi scegli quello più facile da integrare.

Regioni di tipo I e tipo II

Tipo I ($y$ limitato da curve di $x$):

$D = \{(x,y) : a \leq x \leq b,\ g_1(x) \leq y \leq g_2(x)\}$

$\iint_D f\,dA = \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y)\,dy\,dx$

Tipo II ($x$ limitato da curve di $y$):

$D = \{(x,y) : c \leq y \leq d,\ h_1(y) \leq x \leq h_2(y)\}$

$\iint_D f\,dA = \int_c^d \int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y)\,dx\,dy$

Coordinate polari

Per regioni con simmetria circolare, usa $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $dA = r\,dr\,d\theta$:

$\iint_D f(x,y)\,dA = \iint_D f(r\cos\theta, r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta$

Il fattore $r$ dato dallo Jacobiano è essenziale — dimenticarlo è l'errore più comune.

Quando scambiare l'ordine di integrazione

Se un integrale interno diventa intrattabile (ad es. $\int e^{x^2}\,dx$ non ha primitiva elementare), scambiare l'ordine di integrazione spesso rende il problema risolvibile. Disegna prima la regione per trovare gli estremi equivalenti nell'altro ordine.

• Ordine errato degli estremi: gli estremi interni possono dipendere dalle variabili esterne, ma gli estremi esterni devono essere costanti. Invertiti = risposta sbagliata.
• Dimenticare lo Jacobiano polare: $dA = r\,dr\,d\theta$, non $dr\,d\theta$.
• Non disegnare la regione: per $D$ non rettangolare, un disegno rende ovvio il tipo I rispetto al tipo II.
• Tentare di integrare funzioni interne impossibili: se incontri $\int e^{x^2}\,dx$ o un integrando simile non elementare, scambia l'ordine prima di arrenderti.
• Errori di segno con integrandi negativi: se $f$ cambia segno su $D$, l'integrale doppio può essere zero — è corretto, non un errore da 'correggere'.