Calcolatrice della divisione sintetica

La divisione sintetica è una scorciatoia per dividere un polinomio $p(x)$ per un fattore lineare $x - k$. È più veloce della divisione lunga e produce lo stesso quoziente e lo stesso resto, ma con meno scrittura.

Data $p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0$ divisa per $x - k$, la divisione sintetica produce:

$p(x) = (x - k) q(x) + r$

dove $q(x)$ è il quoziente (grado $n - 1$) e $r$ è il resto costante.

Usi principali:

1. Divisione rapida di polinomi quando il divisore è un lineare $x - k$.
2. Valutare $p(k)$ — per il Teorema del resto, $p(k) = r$, quindi il resto è esattamente il valore della funzione.
3. Scomporre polinomi — se $r = 0$, allora $(x - k)$ è un fattore e $q(x)$ ti dà il cofattore.
4. Trovare radici razionali combinata con il Teorema delle radici razionali.

Preparazione

Per dividere $p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0$ per $x - k$:

1. Scrivi lo zero del divisore $k$ a sinistra.
2. Elenca i coefficienti di $p(x)$ a destra, includendo gli zeri per ogni termine mancante.

Algoritmo

1. Riporta il primo coefficiente ($a_n$) invariato.
2. Moltiplica per $k$ e scrivi il risultato sotto il coefficiente successivo ($a_{n-1}$).
3. Somma la colonna. Scrivi la somma nella riga in basso.
4. Ripeti: moltiplica quella somma per $k$, scrivi sotto il coefficiente successivo, somma.
5. Continua finché non hai esaurito tutti i coefficienti.

Lettura del risultato

La riga in basso contiene:

• I primi $n$ valori: i coefficienti del quoziente $q(x)$ (in ordine decrescente di grado).
• L'ultimo valore: il resto $r$.

Esempio: $(x^3 - 4x + 5) \div (x - 2)$

Coefficienti di $x^3 + 0x^2 - 4x + 5$: $[1, 0, -4, 5]$. Zero del divisore: $k = 2$.

 2 |  1   0  -4   5
   |      2   4   0
   |________________
      1   2   0   5

Quoziente: $x^2 + 2x + 0 = x^2 + 2x$. Resto: $5$.

Quindi $x^3 - 4x + 5 = (x - 2)(x^2 + 2x) + 5$.

Collegamento con il Teorema del resto

Il resto $r$ in $p(x) = (x - k)q(x) + r$ è uguale a $p(k)$. Ponendo $x = k$:

$p(k) = (k - k) q(k) + r = r$

Quindi la divisione sintetica è un modo rapido per valutare $p(k)$ senza sostituire.

Teorema del fattore

Un corollario: $(x - k)$ è un fattore di $p(x)$ se e solo se $p(k) = 0$ se e solo se il resto della divisione sintetica è $0$.

• Mancanza degli zeri segnaposto: per $p(x) = x^3 - 4x + 5$, devi includere uno $0$ per il termine $x^2$ mancante. Altrimenti le colonne si disallineano.
• Errore di segno su $k$: per dividere per $x - 2$, usa $k = 2$ (lo zero del divisore). Per dividere per $x + 3$, usa $k = -3$.
• Non utilizzabile direttamente per divisori $ax - k$: la divisione sintetica così come viene insegnata funziona per $x - k$ (coefficiente direttivo 1). Per $ax - k$, raccogli prima $a$ o usa la divisione lunga tra polinomi.
• Dimenticare di riportare il primo coefficiente: il primo passaggio è sempre 'riporta $a_n$' — non moltiplicare ancora nulla.
• Leggere male il quoziente: i primi $n$ valori della riga in basso sono coefficienti, e il grado scende di 1. Un polinomio di grado 4 diviso per $x - k$ dà un quoziente di grado 3.