Calcolatrice del completamento del quadrato

Il completamento del quadrato è la tecnica algebrica che riscrive una quadratica $ax^2 + bx + c$ come:

$a(x - h)^2 + k$

dove $(h, k)$ è il vertice della parabola.

Perché è importante:

• Mette subito in evidenza il vertice (punto di minimo/massimo) di una parabola.
• Permette di risolvere qualsiasi equazione di secondo grado senza la formula risolutiva.
• È la tecnica che ricava la formula risolutiva dell'equazione di secondo grado.
• Si usa per calcolare $\int \frac{1}{x^2 + bx + c}\,dx$ in analisi (si riduce a un arcotangente).
• È essenziale per comprendere gli integrali gaussiani e molti argomenti di fisica.

L'identità chiave che lo rende possibile:

$x^2 + bx + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2$

Caso 1: Coefficiente direttivo uguale a 1

Per $x^2 + bx + c$:

1. Prendi metà di $b$ ed elevala al quadrato: $(b/2)^2$.
2. Aggiungi e sottrai questa quantità: $x^2 + bx + (b/2)^2 - (b/2)^2 + c$.
3. Raggruppa il quadrato perfetto: $(x + b/2)^2 + c - (b/2)^2$.

Esempio: $x^2 + 6x + 5$

• Metà di 6 è 3. Al quadrato: 9.
• $x^2 + 6x + 9 - 9 + 5 = (x + 3)^2 - 4$

Forma del vertice: $(x + 3)^2 - 4$, vertice in $(-3, -4)$.

Caso 2: Coefficiente direttivo diverso da 1

Per $ax^2 + bx + c$, $a \neq 1$:

1. Raccogli $a$ dai primi due termini: $a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c$.
2. Completa il quadrato all'interno delle parentesi: metà di $b/a$ è $b/(2a)$, al quadrato è $b^2/(4a^2)$.
3. Aggiungi e sottrai all'interno: $a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2}\right) - a \cdot \frac{b^2}{4a^2} + c$.
4. Semplifica: $a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a}$.

Nota che quando 'annulli' il termine aggiunto, lo moltiplichi per $a$ poiché l'interno è moltiplicato per $a$.

Risoluzione di un'equazione di secondo grado

Per $ax^2 + bx + c = 0$:

1. Completa il quadrato per ottenere $a(x - h)^2 + k = 0$.
2. Isola il termine al quadrato: $(x - h)^2 = -k/a$.
3. Estrai le radici quadrate: $x - h = \pm\sqrt{-k/a}$.
4. Risolvi: $x = h \pm \sqrt{-k/a}$.

È essenzialmente ciò che fa la formula risolutiva in un'unica espressione compatta.

• Dimenticare di bilanciare: quando aggiungi $(b/2)^2$, devi anche sottrarlo. Altrimenti hai modificato l'espressione.
• Gestione errata del coefficiente: se $a \neq 1$, devi raccogliere $a$ dai primi due termini prima di completare il quadrato, poi moltiplicare la correzione per $a$ quando ridistribuisci.
• Errori di segno con $\pm$: dopo aver estratto le radici quadrate, devi mantenere entrambi i rami. Eliminare il $\pm$ fa perdere una soluzione.
• Metà di $b$ contro $b/2a$: quando il coefficiente direttivo è 1, prendi metà di $b$. Quando non lo è, raccogli prima — poi prendi metà del nuovo coefficiente.
• Dimenticare di semplificare la costante: dopo aver completato il quadrato, combina le costanti rimanenti in un unico $k$.