Serie di Taylor

La serie di Taylor di una funzione $f$ attorno a un punto $a$ è

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots$

Quando $a = 0$ la serie è chiamata serie di Maclaurin.

Sviluppi famosi:

• $e^x = \sum \frac{x^n}{n!}$
• $\sin x = \sum \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
• $\cos x = \sum \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$
• $\frac{1}{1-x} = \sum x^n$ (per $|x| < 1$).

Troncare la serie al grado $n$ fornisce un'approssimazione polinomiale. È così che le calcolatrici calcolano internamente le funzioni trigonometriche ed esponenziali, ed è così che la fisica approssima il comportamento ad "angolo piccolo" o a "bassa velocità". La serie di Taylor esiste ovunque la funzione sia infinitamente derivabile e il termine di resto tenda a zero.