Serie (somma infinita)

Una serie è la somma dei termini di una successione. La serie finita $\sum_{i=1}^n a_i = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$ è una semplice addizione ordinaria. La serie infinita $\sum_{i=1}^\infty a_i$ è il limite delle somme parziali $S_n = \sum_{i=1}^n a_i$ quando $n \to \infty$.

Se $\lim_{n\to\infty} S_n$ esiste ed è finito, la serie converge; in caso contrario diverge. Esempi celebri:

• La serie geometrica $\sum r^n$ converge a $\frac{1}{1-r}$ quando $|r| < 1$.
• La serie armonica $\sum \frac{1}{n}$ diverge (lentamente).
• Problema di Basilea: $\sum \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$.

La convergenza si decide mediante criteri: del rapporto, della radice, dell’integrale, del confronto, delle serie a segni alterni. Le serie di Taylor approssimano le funzioni con polinomi di grado arbitrariamente alto — il fondamento dell’analisi numerica e delle approssimazioni in fisica.